IV．4元ベクトル

時空上の変位 $(dct,dx,dy,dz)$ は，そのまま時空のベクトルと考えることができ，これを4元ベクトルという。 $d\boldsymbol{r}=(dx,dy,dz)$ は3次元空間のふつうのベクトルだ。

4元変位　　　　　　　 $\longrightarrow$ 　　不変量＝インタバル $ds$

$\begin{array}{c}(dct,dx,dy,dz) \\ = (dct,d\boldsymbol{r})\end{array}\longrightarrow \begin{array}{c} ds^2 = dct^2-dx^2-dy^2-dz^2 \\= dct^2-d\boldsymbol{r}^2\end{array}$

　一般の4元ベクトル $(a^0,a^1,a^2,a^3)$ を考えることができる。ただし，ここで $(a^1,a^2,a^3)=(a_x,a_y,a_z)$ は，3次元空間のベクトル $\boldsymbol{a}$ に対応し，空間成分という。また， $a^0$ はその時間成分というべきものだ（座標の番号を右肩に書くことにはある意味があるのだが，とりあえず習慣と考えて！）。

4元ベクトル　　　　 $\longrightarrow$ 　　不変量＝4元ベクトルの「長さ」

$\begin{array}{c}(a^0,a^1,a^2,a^3) \\ = (a^0,\boldsymbol{a}) \end{array} \longrightarrow \begin{array}{c}(a^0)^2-(a^1)^2-(a^2)^2-(a^3)^2 \\ = (a^0)^2-\boldsymbol{a}^2 \end{array}$

4元ベクトルの成分は，ローレンツ変換にしたがう。

$\left(\begin{array}{c}a^{0\prime} \\a^{1\prime}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}\gamma \quad -\gamma\beta \\ -\gamma\beta \quad \gamma \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a^0\\a^1\end{array}\right)\quad　，\quad　a^{2\prime}=a^2\quad　，\quad　a^{3\prime}=a^3$

　変位 $d\boldsymbol{r}(dx,dy,dz)$ を成分とする4元変位ベクトル $(dct,d\boldsymbol{r})$ があるのなら，速度 $\boldsymbol{v}(v_x,v_y,v_z)$ を成分とする4元ベクトルはあるだろうか？

$v_x = \frac{dx}{dt} =\frac{dx}{dct}\times c$

なのだから，時間成分を

$v^0 = \frac{dct}{dct}\times c = c$

とすればよさそうだが…残念！　速度の合成を考えてもわかることだが，時空変位の成分どうしの割り算がローレンツ変換にしたがわないのは明らかだし，何より上の $v^0=c$ は定数であり， $(v^0)^2-\boldsymbol{v}^2 = c^2-v^2$ が不変量でないことも自明だ。
　そこで $dt$ で割ってマズイのだから，それ自身が不変量である固有時間 $d\tau$ で割ることを考える。すると4元速度ベクトルができあがる。

4元速度　　　　　　 $\longrightarrow$ 　　不変量＝光速 $c$
$\begin{array}{c} u = (c\frac{dt}{d\tau},\frac{d\boldsymbol{r}}{d\tau}) \\ = (\gamma c,\gamma\boldsymbol{v}) \end{array} \longrightarrow (\gamma c)^2 - (\gamma\boldsymbol{v})^2 = c^2$

ここで，

$\frac{dx}{d\tau} = \frac{dx}{dt}\frac{dt}{d\tau} = \gamma v_x　\quad ,\quad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \quad , \quad \beta=\frac{v}{c}$

を用いた。ただし，この場合の $\boldsymbol{v}$ や $\beta$ ， $\gamma$ は，ローレンツ変換の中のそれとはちがうものだから注意（練習問題5参照）。
　4元速度ベクトルに静止質量 $m_0$ をかけたものはやはり4元ベクトルとなり，これを4元運動量という。空間成分はふつうに運動量ベクトル $\boldsymbol{p}$ になる。

4元運動量（モメナジー）　　　　　 $\longrightarrow$ 　　不変量＝静止エネルギー

$\begin{array}{l}p = m_0u \\ = (m_0\gamma c,m_0\gamma\boldsymbol{v}) \\ = (mc,m\boldsymbol{v}) \\ = (E/c,\boldsymbol{p})\end{array} \qquad \qquad \longrightarrow \begin{array}{l}\frac{E^2}{c^2} - \boldsymbol{p}^2 = {m_0}^2c^2 = \frac{{E_0}^2}{c^2} \\ \\i.e.\\ E = \sqrt{{m_0}^2c^4+\boldsymbol{p}^2c^2}\end{array}$

時間成分は，物体のエネルギーを $c$ で割ったものになる。
　ここにエネルギーと運動量が1つの4元ベクトルの成分として統一された。

　　momentum + energy　 $\longrightarrow$ 　 momenergy

また，不変量の式から自動的にエネルギーと運動量の関係が出てくる！

練習問題5

　4元速度のローレンツ変換から速度の合成則を求めよ。

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最終更新：2009年04月24日 14:52

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