斜方投射体の塀越え

OKWaveのQ&Aから。回答は先を越されてしまいました。＾＾；

高さ0から仰角 $\theta$ ，初速 $v_0$ で小球を投射する。水平距離 $l$ だけ前方に高さ $h$ の塀があるとする。
(1)その塀に接触して越える条件を $v_0,h,l,\theta,g$ で表せ。
(2)球が塀を越える最小初速度 $v_0$ とそのときの $\theta$ を求めよ。
(3)塀の仰角が $\alpha=\arctan(h/l)$ のとき $\theta=(\pi/4)+(\alpha/2)$ であることを示せ。

(1)
投射点を原点として，水平前方に $x$ 軸，鉛直上方に $y$ 軸をとる。軌道方程式は，

$y=\tan\theta\cdot x-\frac{g}{2{v_0}^2\cos^2\theta}\cdot x^2$

$(l,h)$ を通る条件から

$h=\tan\theta\cdot l-\frac{g}{2{v_0}^2\cos^2\theta}\cdot l^2$

$v_0$ について解いて，

$v_0=\frac{l}{\cos\theta}\sqrt{\frac{g}{2(l\tanθ-h)}$

(2)
${v_0}^2$ の分母/2をとって，

$f(\theta)=\cos^2\theta(l\tan\theta-h)=l\sin\theta\cos\theta-h\cos^2\theta$

$\theta$ で微分すると，

$\frac{df(\theta)}{d\theta}=l\cos2\theta+h\sin2\theta$

したがって，

$\tan2\theta=-\frac{l}{h}$ 　　or　　 $\theta=\frac{1}{2}\tan^{-1}\left(-\frac{l}{h}\right)$

　　　　　　さらに， $u=\tan\theta$ とおいて，
　　　　　　　　　　 $\tan2\theta=\frac{2u}{1-u^2}=-\frac{l}{h}$
　　　　　　 $u$ について解いて，
　　　　　　　　　　 $\theta=\tan^{-1}\frac{h+\sqrt{h^2+l^2}}{l}$

のとき， $v_0$ は最小値をとる。 $\theta$ を代入してちょっと面倒な計算の後に最小値

$v_0=\sqrt{g(h+\sqrt{h^2+l^2})}$

を得る。

(3)
　もちろん，(2)を満たす $\theta$ の意だろう。

$\tan2\theta=-\frac{l}{h}=-\frac{1}{\tan\alpha}=-\tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$
$2\theta=\pi-\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\alpha+\frac{\pi}{2}$
$\therefore \quad \theta=\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{4}$

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最終更新：2009年04月25日 17:55

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