動く斜面上の運動(2)

基本的には，「動く斜面上の運動」と同じで初期条件の異なる問題。
「物理のかぎしっぽ数式掲示板」より。

滑らかな床の上に、質量 $M$ の三角台をおく。斜面と床がつくる角度の大きさをを $\theta(0<\theta<\pi/2)$ とし、その斜面上に質量 $m$ の小物体を置いて静かに離す。このとき、小物体の鉛直方向の速度の大きさを $u$ 、水平方向の床に対する速度の大きさを $v$ 、三角台の床に対する速度の大きさを $V$ とすると、 $u,v,V$ の間に成り立つ関係を表す式を書け。

答.　　　 $\frac{u}{v+V}=\tan\theta$

せっかくなので，運動方程式を立てて運動を解析しよう。

床に静止した水平右向き・鉛直上向きの座標系 $(x,y)$ をとる。
この座標系での三角台の座標を $(X(t),0)$ ，小物体の座標を $(x(t),y(t))$ とおく。また，斜面は右に下る方向とする。題意により，
$\frac{dX}{dt}=-V \quad , \quad \frac{dx}{dt}=v \quad , \quad \frac{dy}{dt}=-u$
三角台から見た小物体の相対速度は $(v+V,-u)$ であり，これが斜面下向きであるから
$u=(v+V)\tan\theta$
したがってまた，
$\dot u=(\dot v+\dot V)\tan\theta\qquad \cdots (1)$
ただし，
$\dot u=\frac{du}{dt}$
などは，加速度の大きさを示す。

小物体の運動方程式は，斜面から受ける抗力の大きさを $N$ として，
$m\dot v = N\sin\theta\qquad \cdots (2)$
$m\dot u = mg-N\cos\theta\qquad \cdots (3)$
また，三角台の運動方程式は，
$M\dot V = N\sin\theta\qquad \cdots (4)$
(2)(4)より運動量保存
$mv-MV=const.$
を得る。

以上(1)～(4)の４式から， $\dot v,\dot u,\dot V,N$ を次のように得る。
$\dot v=\frac{Mg\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}$
$\dot u=\frac{(M+m)g\sin^2\theta}{M+m\sin^2\theta}$
$\dot V=\frac{mg\sin\theta\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}$
$N = \frac{Mmg\cos\theta}{M+m\sin^2\theta}$