ベクトル公式と微分演算子

「かぎしっぽ」であらためて学んだこと。

たとえば，ベクトル３重積の公式（BAC-CAB則）

$\boldsymbol{a}\times (\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})-\boldsymbol{c}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})=(b_ia_jc_j-c_ia_jb_j)\boldsymbol{e}_i$

ここで $\boldsymbol{b}$ を $\nabla$ に置き換えると，

$\boldsymbol{a}\times (\nabla\times\boldsymbol{c}) = (a_j\partial_ic_j-a_j\partial_jc_i)\boldsymbol{e}_i$

第２項は， $-(\boldsymbol{a}\cdot\nabla) \boldsymbol{c}$ と書けるが，第１項は太字ベクトルで簡単に表現できない。しいて書けば， $(\nabla\circ\boldsymbol{c})\boldsymbol{a}$ となるだろうか？　 $\circ$ は直積である。これをよく $\nabla(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})$ と間違えたりすることが多い。私もよく勘違いするが，勘違いをそのまま書籍やWebページに掲載しているものもあるので気をつけたい。ポイントは，左辺で微分演算子の対象は $\boldsymbol{c}$ であるということである。それにしたがって成分積の順序を並べかえればよいわけだ。

補足として，レビ・チビタの完全反対称擬テンソルによる計算を載せておく。

$[\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}]_i = \varepsilon_{ijk}a_jb_k$

だから，

$[\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})]_i = \varepsilon_{ijk}a_j\varepsilon_{klm}b_lc_m = \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmk}a_jb_lc_m$
　　　　　　　　　 $= \left|\begin{array}{cc}\delta_{il} \quad \delta_{im}\\ \delta_{jl} \quad \delta_{jm}\end{array}\right|a_jb_lc_m = (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})a_jb_lc_m$
　　　　　　　　　 $= b_ia_jc_j-c_ia_jb_j$

また，

$[\boldsymbol{a}\times (\nabla\times\boldsymbol{c})]_i = \varepsilon_{ijk}a_j\varepsilon_{klm}\partial_lc_m = \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmk}a_j\partial_lc_m$
　　　　　　　　　 $= \left|\begin{array}{cc}\delta_{il} \quad \delta_{im}\\ \delta_{jl} \quad \delta_{jm}\end{array}\right|a_j\partial_lc_m = (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})a_j\partial_lc_m$
　　　　　　　　　 $= a_j\partial_ic_j-a_j\partial_jc_i$

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最終更新：2009年06月09日 16:16

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