重いものほど速く落ちる？

「かぎしっぽ」の掲示板への質問から。この問題は，かつて優秀な後輩Ｎ君に教えてもらったことがあったと記憶している。

質量 $m$ のボーリング球を自由落下させる。地球の質量 $M$ ，万有引力定数 $G$ ，地球およびボーリング球の座標を $X,x$ とすると，相対座標 $r=x-X$ として両者の運動方程式は

$M\ddot{X}=\frac{GMm}{r^2}$ すなわち、 $\ddot{X}=\frac{Gm}{r^2}$
$m\ddot{x}=-\frac{GMm}{r^2}$ すなわち、 $\ddot{x}=-\frac{GM}{r^2}$

となる。辺々引くと， $r$ に対する運動方程式

$\mu \ddot{r} = -\frac{GMm}{r^2}$ すなわち， $\ddot{r} = -\frac{G(M+m)}{r^2}$

を得る。ここで $\mu = Mm/(M+m)$ は，換算質量である。両者が近づく加速度は質量 $m$ が大きいほど大きくなるという結果になる。

ただし，ボーリング球がもともと地球の一部であったということからすると，質量の合計 $M+m$ はもともとの地球全体の質量であるから，ボーリング球がどんなに重くともそれがもともと地球の一部であることに変わりがなければ，落ちる速さはまったく同じという結果になる。

もし、質量の異なる２つの球を並べて一緒に落としたらどうなるだろう？ただし、両者の間の万有引力は無視できるとしよう。
質量 $m_1,m_2(m_1&gt;m_2)$ とすると、２つの球の加速度は質量にかかわらず同じ。一方地球の加速度は $m_1+m_2$ に比例することになる。したがってこの場合は２つは同時に落下することになるといえそうだ。

つまり結論として言えるのは、「重いものも軽いものも空気に邪魔されない限り同時に落下する」ということです。

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最終更新：2012年03月03日 13:53

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