極座標系の速度・加速度

運動方程式の平面極座標形式に関するメモ。

極座標系の基底の時間微分が

$\dot{\bold{e}_r} = \dot{\phi}\bold{e}_\phi \quad, \qquad \dot{\bold{e}_\phi} = -\dot{\phi}\bold{e}_r$

となることは，ほぼ自明。

位置ベクトル

$\bold{r} = r \bold{e}_r$

に対して，速度および加速度は，

$\dot{\bold{r}} = \dot{r}\bold{e}_r + r\dot{\bold{e}_r} = \dot{r}\bold{e}_r +r\dot{\phi}\bold{e}_\phi$

$\ddot{\bold{r}} = \ddot{r}\bold{e}_r + \dot{r}\dot{\bold{e}_r} + \dot{r}\dot{\phi}\bold{e}_\phi + r\ddot{\phi}\bold{e}_\phi + r\dot{\phi}\dot{\bold{e}_\phi}$
$= (\ddot{r} - r{\dot{\phi}}^2)\bold{e}_r + (2\dot{r}\dot{\phi} + r\ddot{\phi})\bold{e}_\phi$
$= (\ddot{r} - r{\dot{\phi}}^2)\bold{e}_r + \frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\phi})\bold{e}_\phi$