Phunにおける擬似遠心力と水面の形

Phunで，回転する円筒容器に入った水の水面が放物面になるのをシミュレートできないかと思った。２次元シミュレータではちょっとムリ？　そこで擬似遠心力をつくってみた。

遠心力は，物体の質量 $m$ ，回転半径 $r$ ，回転の角速度 $\omega$ として，

$F(r)=mr\omega^2$

であるから，回転半径に比例する。
距離に比例し，なおかつ軸対称な力などPhunでは用意されていない。そこで，逆２乗引力を用いて，近似的に距離に比例するような擬似遠心力をつくってみた。

質量に対して逆２乗引力をもつ円を，回転円筒から遠く離して，軸に平行に多数並べる。

無限個数を並べた場合，座標 $z$ にある長さ $dz$ の部分が， $(r,0)$ にある質点に及ぼす力の $r$ 方向成分を

$dF = \frac{k}{r^2+z^2}\cdot\frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}}dz$

と書けば，

$F = 2k\int_0^\infty\frac{rdz}{(r^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{2k}{r}$

となる。この距離に反比例する力は，「平面」でも設定できるが，残念ながら平面はPhun実行時に動かすことができないので，円を鉛直にたくさん並べるという苦肉の策をとった。さて，これらの円列を円筒から遠く離して，左右に立てるのである。円列が重力を受けないように重力を消し，かわりに下方に離した水平面に距離に反比例する引力を担わせた（水だけに働く）。十分離せば小さな円筒内では近似的に一様とすることができる。