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【解答】ループコースター

小球の質量を $m$ ，最下点での初速を $v_0$ とする。

(1)

$v_0$ の下限は，最上点でレールからの抗力をゼロとすることで得られる。このとき，最上点での速さを $v$ として，半径方向の運動方程式は

$\frac{mv^2}{r} = mg　\qquad \therefore v^2 = gr$

エネルギー保存により，

$\frac{1}{2}mv_0\;^2 = \frac{1}{2}mv^2 + 2mgr$

$\therefore v_0 = \sqrt{v^2 + 4gr} = \sqrt{5gr}$

(2)

ループを離れる位置の鉛直上方からの角度を $\theta$ ，そのときの速さを $v$ とおく。

半径方向の運動方程式において，抗力をゼロとすれば

$\frac{mv^2}{r} = mg\cos\theta\qquad \therefore v^2=gr\cos\theta$

エネルギー保存により，

$\frac{1}{2}mv_0\;^2 = \frac{1}{2}mv^2 + mgr(1+\cos\theta)$

両式から $v$ を消去して，

$v_0 = \sqrt{(2+3\cos\theta)gr}$

ループを離れてから時間 $t$ の後にループの中心を通るものとすると，

$v\cos\theta\cdot t = r\sin\theta$
$v\sin\theta\cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = -r\cos\theta$

両式から $t$ を消去して $v^2=gr\cos\theta$ を用いると

$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

を得る。これを $v_0$ の式に代入して，

$\therefore v_0 = \sqrt{(2+\sqrt{3})gr}$

※ $\cos\theta$ を求める段は図形的解法が簡便である。＞http://yokkun831.hatenablog.com/entry/2019/03/07/155349

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最終更新：2019年03月13日 09:53

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