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【解答】円筒面をころがる小円板
(1)

図のようにおく。



小円板が円筒面を離れる瞬間において，エネルギー保存により

mgr(1-\cos\theta) = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\left(\frac{r}{a}\dot{\theta}\right)^2

ここで，

v = r\dot{\theta},\qquad I = \frac{1}{2}ma^2

\therefore mgr(1-\cos\theta) = \frac{3}{4}mv^2

また，このときの運動方程式（半径方向）は，N=0 より

\frac{mv^2}{r} = mg\cos\theta

両式より v を消去して，

\cos\theta=\frac{4}{7}

このとき，

v=\sqrt{\frac{4gr}{7}}

(2)

円筒面を離れてから水平面に達するまでの時間を t とする。
水平方向と鉛直方向の移動距離について，

l-r\sin\theta = x = v\cos\theta \cdot t
r\cos\theta = v\sin\theta\cdot t+\frac{1}{2}gt^2

すなわち，

r\cos\theta = x\tan\theta + \frac{gx^2}{2v^2\cos^2\theta}

代入整理すると，

x^2+\frac{32\sqrt{33}}{343}rx-\frac{512}{2401}r^2=0 \qquad \therefore \frac{x}{r}=-\frac{16\sqrt{33}}{343}+\sqrt{\left(\frac{16\sqrt{33}}{343}\right)^2+\frac{512}{2401}} \simeq 0.266

となる。したがって，

l = r\sin\theta + x \simeq 1.09r

Algodooでは，「まさつ」パラメータを最大の2にしてシミュレーションする。
Algodoo シーン

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最終更新：2009年11月28日 19:29