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【解答】振子にとびのる小球


振子の周期を T とすると，小球Aが乗るまでの時間は

\frac{3}{4}T = \frac{3\pi}{2}\sqrt{\frac{l}{g}}

となるべきである（証明は省くが，他の可能性はない）。

小球Aが床に達するまでの時間を t_1 とすると，

2l = \frac{1}{2}{gt_1}^2 \qquad \therefore t_1 = 2\sqrt{\frac{l}{g}}

床に衝突する直前の速さは，

v = gt_1 = 2\sqrt{gl}

である。はねかえり係数を e とすると衝突直後の速さは evである。
衝突してから最高点を過ぎて高さ l に達するまでの時間を t_2 とすると，

evt_2 - \frac{1}{2}g{t_2}^2 = l \qquad {\rm i.e.} \quad {t_2}^2-\frac{2ev}{g}t+\frac{2l}{g} = 0
\therefore t_2 = \frac{ev}{g} + \sqrt{\frac{e^2v^2}{g^2}-\frac{2l}{g}} = \sqrt{\frac{l}{g}}\cdot(2e+\sqrt{4e^2-2})

題意より，

\frac{3}{4}T = t_1+ t_2 \qquad {\rm i.e.} \quad \frac{3\pi}{2} = 2 + 2e +\sqrt{4e^2-2}

e について解くと，

e = \frac{9\pi^2-24\pi+24}{24\pi-32} = 0.862

となる。

※はねかえり係数 e は，床と小球Aの「はんぱつの度合」パラメータの相乗平均となる。たとえば，床の「はんぱつの度合」を1として，小球Aの「はんぱつの度合」を e^2 に設定すればよい。

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最終更新：2009年11月30日 22:41