【解答】斜面上で衝突をくりかえす２物体

物体１および２が斜面をすべっているときの加速度は，運動方程式により

$m_1a_1 = m_1g\sin\alpha - \mu_1m_1g\cos\alpha \qquad \therefore a_1 = g(\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha)$
$m_2a_2 = m_2g\sin\alpha - \mu_2m_2g\cos\alpha \qquad \therefore a_2 = g(\sin\alpha - \mu_2\cos\alpha)$

となる。

(1)

衝突時の物体１の速さは，

$v_0 = \sqrt{2a_1x_0}$

である。衝突後の物体２の速さを $v_2$ とすると，運動量保存およびはね返り係数により

$m_1 v_0 = m_2 v_2$

$e = \frac{v_2}{v_0}$

$\therefore \frac{m_1}{m_2} = e,\qquad v_2 = ev_0 = e\sqrt{2gx_0(\sin\alpha - \mu_1\cos\alpha)}$

(2)

衝突間の時間を $t_1$ とすると，題意より

$x_1 = \frac{1}{2}a_1{t_1}^2 = -\frac{1}{2}a_2{t_1}^2 \qquad \therefore a_2 = -a_1$

すなわち，

$\sin\alpha - \mu_2\cos\alpha = -\sin\alpha + \mu_1\cos\alpha \qquad \therefore \tan\alpha = \frac{\mu_1+\mu_2}{2}$

また，

${v_2}^2 = -2a_2x_1$

$\therefore x_1 = \frac{{v_2}^2}{-2a_2} = \frac{{v_2}^2}{2a_1} = \frac{e^2{v_0}^2}{{v_0}^2/x_0} = e^2x_0$

(3)

求める距離は，

$\sum_{n=1}^{\infty}x_0e^{2(n-1)} = \frac{x_0}{1-e^2}$

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最終更新：2009年12月03日 16:53

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