【解答】斜方投射の到達領域

軌道の式は，

$y = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2{v_0}^2\cos^2\theta}$

$\theta$ をパラメータとするこの放物線群の包絡線と $x,y$ 両軸に囲まれた領域が，小球が到達可能な領域である。その境界となる包絡線は，

$F(x,y,\theta) = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2{v_0}^2\cos^2\theta} - y = 0$

$\frac{\partial F(x,y,\theta)}{\partial \theta} = \frac{x}{\cos^2\theta} - \frac{gx^2\sin\theta}{{v_0}^2\cos^3\theta} = 0 \qquad {\rm i.e.} \quad \tan\theta = \frac{{v_0}^2}{gx}$

両式から $\theta$ を消去して得られる。したがって，

$y = -\frac{g}{2{v_0}^2}\;x^2 + \frac{{v_0}^2}{2g}$

で表される放物線と $x,y$ 軸で囲まれた領域が，小球の到達可能領域である。

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最終更新：2009年12月10日 22:48

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