【解答】棒にかけたひもの落下

(1)

両端の差が $2x$ になったとき，重力による位置エネルギーを初めと比べると，長さ $x-x_0$ の部分が高さ $x+x_0$ 落下したに等しい。したがって，エネルギー保存により

$\frac{x-x_0}{L}\;Mg(x+x_0) = \frac{1}{2}Mv^2\qquad \therefore v = \sqrt{\frac{2g}{L}(x^2 - {x_0}^2)}$

(2)

(1)の結果から，

$\frac{dx}{\sqrt{x^2 - {x_0}^2}} = \sqrt{\frac{2g}{L}}\;dt$

$x = x_0 \cosh\theta$ とおくと，簡単になって

$d\theta = \sqrt{\frac{2g}{L}}\;dt$

$t=0$ において， $x=x_0$ すなわち $\theta=0$ であるから，

$\theta = \sqrt{\frac{2g}{L}}\;t$

結局，

$x = x_0\cosh\left(\sqrt{\frac{2g}{L}}\;t\right)$

$v = x_0\sqrt{\frac{2g}{L}}\;\sinh\left(\sqrt{\frac{2g}{L}}\;t\right)$

となる。

※ Algodoo の設定は， $L=330{\rm [m]},x_0=2{\rm [m]}$ である。
　「くさり」の振動が最初気になるところだが，いい線いっているようだ。

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最終更新：2009年12月14日 17:48

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