【解答】小球を投げ出して走る台車 - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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【解答】小球を投げ出して走る台車

(1)

小球が落ちる前の台車の速さを $V$ とすると，運動量保存により

$MV = (M-m)(V+{\it\Delta}V) + m(V-v_0)\qquad \therefore {\it\Delta}V = \frac{m}{M-m}\;v_0$

(2)

小球が投げ出される速さを $v$ ，そのときの台車の速さを $V^\prime$ として，運動量保存により

$MV = (M-m)V^\prime - mv$

また，エネルギー保存により

$\frac{1}{2}MV^2 + mgh = \frac{1}{2}(M-m){V^\prime}^2 + \frac{1}{2}mv^2$

両式から $v$ を消去して整理すると，

${V^\prime}^2 - 2VV^\prime + V^2 - \frac{2m^2gh}{M(M-m)} = 0$

$\therefore {\it\Delta}V = V^\prime - V = \sqrt{\frac{2m^2gh}{M(M-m)}}$

を得る。

(2)の結果において， $m \ll M$ および， $v_0 \simeq \sqrt{2gh}$ を考慮すると，(1)の結果に一致する。

ちなみに， $t$ 秒後の台車の速さは，(1) の場合

$V(t) = \sum_{k=1}^t\left(\frac{m}{M_0-km}\;v_0\right)$

また， $m \ll M$ を考慮し， $m$ をガスの一様な噴出とするとき，(1)は

$dV = \frac{-dM}{M}v_0\qquad \therefore V(t) = v_0 \ln\frac{M_0}{M(t)}$

となって，ツィオルコフスキーのロケット方程式に一致する。

(2)の場合 $t$ 秒後の速さは，

$V(t) = \sum_{k=1}^t\sqrt{\frac{2m^2gh}{(M_0-km+m)(M_0-km)}}$

となる。上の３つの $V(t)$ は， $m \ll M$ の近似において一致し，下図のような変化となる。

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最終更新：2009年12月30日 17:39

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