【解答】２直線に束縛された振子

(1) 重力の影響がない場合

図のような状態で，鉛直方向からの棒の角度を $\theta$ とおくと，おもりの位置は

$x = L\sin\theta$
$y = l\cos\theta$

速度成分は，

$\dot{x} = L\cos\theta\cdot\dot{\theta}$
$\dot{y} = -l\sin\theta\cdot\dot{\theta}$

したがって，ラグランジアンは

$L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2) = \frac{1}{2}m(L^2\cos^2\theta + l^2\sin^2\theta)\dot{\theta}^2$

となる。

$\frac{\partial L}{\partial \theta} = -\frac{1}{2}m(L^2 - l^2)\sin 2\theta\cdot\dot{\theta}^2$
$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m(L^2\cos^2\theta+l^2\sin^2\theta)\dot{\theta}$

より運動方程式をつくり，整理すると

$\ddot{\theta} = \frac{(L^2-l^2)\sin 2\theta}{2(L^2\cos^2\theta+l^2\sin^2\theta)}\cdot\dot{\theta}^2$

を得る。

(2) 重力がある場合

ラグランジアン

$L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2) = \frac{1}{2}m(L^2\cos^2\theta + l^2\sin^2\theta)\dot{\theta}^2 + mgl\cos\theta$

により，運動方程式は

$\ddot{\theta} = \frac{(L^2-l^2)\sin 2\theta\cdot\dot{\theta}^2-2gl\sin\theta}{2(L^2\cos^2\theta+l^2\sin^2\theta)}$

となる。

回転軸連結された２本の棒に引き続き，束縛された系の運動の解析にラグランジアンを用いた方法がいかに強力なものか，再び思い知らされることになった。座標への束縛を与えるだけで，結果的に束縛力を逆に得ることになるわけである。

タグ：

+ タグ編集

「【解答】２直線に束縛された振子」をウィキ内検索

最終更新：2009年12月21日 18:01

添付ファイル

科学のおもちゃ箱 @wiki

【解答】２直線に束縛された振子

【解答】２直線に束縛された振子

メニュー

更新履歴