【解答】ばねにつりさげられた板上の物体

(1)

位置がともに $x$ のとき，加速度を $a$ ，抗力を $N$ として，物体および板の運動方程式は

$2ma = 2mg - N$

$ma = mg + N - kx$

これを解いて，

$a = -\frac{k}{3m}\left(x-\frac{3mg}{k}\right),\qquad N = \frac{2}{3}kx$

となる。すると，物体が板から離れるのは $N=0$ となる条件から $x=0$ すなわちばねが自然長になるときである。振動中心は， $x=x_1=3mg/k$ であるから， $x=0$ に達するためには振幅が $3mg/k$ 以上すなわち，

$x_0 > \frac{6mg}{k}$

であればよい。

(2)

物体が板を離れるときの速さを $v$ とすると，単振動のエネルギー保存により

$\frac{1}{2}k(x_0 - x_1)^2 = \frac{1}{2}k(0 - x_1)^2 +\frac{1}{2}\cdot 3mv^2\qquad \therefore v = \sqrt{\frac{kx_0}{3m}\left(x_0 - \frac{6mg}{k}\right)}$

求める最高点 $x_2$ は，

$0^2 - v^2 = 2gx_2 \qquad \therefore x_2 = -\frac{v^2}{2g} = -\frac{kx_0}{6mg}\left(x_0 - \frac{6mg}{k}\right)$

(3)

振動中心は， $x=x_1=3mg/k$ であるから，物体が板を離れる $x=0$ は振幅 $6mg/k$ の半分を負方向に振れたところに当たる。したがって，物体が板を離れるまでの時間 $t_1$ は，両者がともにする単振動の周期の $1/3$ に当たるから，

$t_1 = \frac{T}{3} = \frac{2\pi}{3}\sqrt{\frac{3m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{3k}}$

である。また，物体が板を離れてから最高点 $x_2$ に達するまでの時間 $t_2$ は，

$v - gt_2 = 0\qquad \therefore t_2 = \frac{v}{g}$

ここで，(2)により

$v = 3g\sqrt{\frac{m}{k}}$

となるから，

$t_2 = 3\sqrt{\frac{m}{k}}$

したがって，求める時間は

$t_1 + t_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{3k}} + 3\sqrt{\frac{m}{k}} = \left(\frac{2\pi}{\sqrt3} + 3\right)\sqrt{\frac{m}{k}}$

となる。

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最終更新：2009年12月22日 16:48

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