【解答】ばねにつりさげられたひも

つりあいのときのひもの上端位置を原点として鉛直上向きに $x$ 軸をとる。
自然長における上端位置を $x_0$ とすると，

$\rho hg = kx_0 \qquad \therefore x_0 = \frac{\rho hg}{k}$

である。

ひもの上端位置が $x$ で，上に動いているとき，微小時間 $dt$ の間の運動量の変化を考察すると，

$dp = \rho(h+x+dx)(\dot{x}+d\dot{x}) - \rho(h+x)\dot{x} =\rho(h+x)d\dot{x} + \rho\dot{x}dx$

となる。一方，このときひもが受ける力は，

$F = k(x_0-x) - \rho(h+x)g = -(k+\rho g)x$

であるから，運動方程式

$\rho(h+x)\ddot{x} + \rho\dot{x}^2 = -(k+\rho g)x$

を得る。左辺第２項 $\rho\dot{x}^2$ は，床上から新たに運動に参入する部分の運動量変化率に相当する。
ところで，ひもが下に動いているときには，この第２項は床に達して運動から離脱していく部分の運動量変化率になるが，これは床からの抗力がまるごと引き受けるわけだから， $\dot{x}<0$ の場合の運動方程式は