滑車を回して落ちるロープ

オリジナル問題。滑車に巻かれたロープが，滑車を回しながら降下する運動。

【問題】（大学レベル）
質量 $m$ のロープが，質量 $M$ ，半径 $R$ の滑車に一端を固定してちょうど一巻きされている。他端をわずかに下に引いた静止状態から静かに離すと，ロープは滑車を回しながら下に運動を始めた。巻かれたひもがすべて解かれた瞬間のひもの速さを求めよ。ただし，重力加速度の大きさを $g$ とする。