【解答】ウェイトのついたターンテーブル

(1)

ターンテーブル本体の慣性モーメントは，

$I_0 = \frac{1}{2}Ma^2$

である。求める角速度を $\omega_1$ とすると，角運動量保存により

$(I_0+mR^2)\omega_0 = (I_0+mr^2)\omega_1 \qquad \therefore \omega_1 = \frac{I_0+mR^2}{I_0+mr^2}\;\omega_0$

(2)

エネルギーの増加は，

${\it\Delta}E = \frac{1}{2}(I_0+mr^2){\omega_1}^2 - \frac{1}{2}(I_0+mR^2){\omega_0}^2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{I_0+mR^2}{I_0+mr^2}\;m(R^2-r^2)}\;{\omega_0}^2$

また，遠心力に抗してウェイトを引く仕事を計算すると，

$W = \int_R^r (-mx\omega^2)dx = -m(I_0+mR^2)^2{\omega_0}^2\int_R^r\frac{xdx}{(I_0+mx^2)^2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{I_0+mR^2}{I_0+mr^2}\;m(R^2-r^2)}\;{\omega_0}^2$