【解答】衝突する振子のついた台車 - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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【解答】衝突する振子のついた台車

[A]

(1)

衝突直前のおもりおよび台車の速度を $v,V$ ，衝突直後のそれを $v^\prime,V^\prime$ とおくと，運動量保存により

$0 = mv + MV = mv^\prime + MV^\prime$

衝突前のエネルギー保存により，

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2$

はねかえり係数 $e$ により，

$V^\prime - v^\prime = e(v - V)$

以上より，

$v = \sqrt{\frac{2\alpha gh}{1+\alpha}},\qquad V = -\sqrt{\frac{2gh}{\alpha(1+\alpha)}}$

$v^\prime = -ev = -e\sqrt{\frac{2\alpha gh}{1+\alpha}},\qquad V^\prime = -eV = e\sqrt{\frac{2gh}{\alpha(1+\alpha)}}$

を得る。なお，衝突後の速度がそれぞれ衝突前の速度に $-e$ を乗じたものになることは，衝突の瞬間に相対速度ゼロになったとき，どちらも絶対速度ゼロになるべきことから明らかである。

(2)

最高点になるとき，どちらも速度ゼロになるから，衝突後のエネルギー保存により

$\frac{1}{2}m{v^\prime}^2 + \frac{1}{2}M{V^\prime}^2 = mgh^\prime$

$\therefore h^\prime = e^2 h$

結果は，水平面への自由落下でよく知られた関係に等しい。

[B]

(3)

衝突前は，

$v = \sqrt{2gh},\qquad V = 0$

また，運動量保存により

$mv = mv^\prime + MV^\prime$

はねかえり係数 $e$ より，

$ev = V^\prime - v^\prime$

以上から，

$v^\prime = \frac{1-e\alpha}{1+\alpha}\sqrt{2gh},\qquad V^\prime = \frac{1+e}{1+\alpha}\sqrt{2gh}$

を得る。

(4)

最高点において，両者の相対速度はゼロになる。このときの両者の速度を $V_0$ とおくと，運動量保存により

$mv = (M+m)V_0 \qquad \therefore V_0 = \frac{v}{1+\alpha}$

衝突後のエネルギー保存により，

$\frac{1}{2}m{v^\prime}^2 + \frac{1}{2}M{V^\prime}^2 = \frac{1}{2}(M+m){V_0}^2 + mgh^\prime$

以上より，

$h^\prime = \frac{\alpha e^2}{1+\alpha}\;h$

を得る。

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最終更新：2010年07月29日 09:45

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