【解答】ターンテーブル上を歩く虫

(1)

円盤上で見た虫の速さは，

$v = \frac{R}{2}\;\dot{\theta}$

である。また，円盤の角速度を $-\dot{\phi}$ とおくと，外から見た虫の角運動量は

$L = mr\left(v\sin\frac{\theta}{2} - r\dot{\phi}\right) = mR\sin\frac{\theta}{2}\left(\frac{R}{2}\;\dot{\theta}\sin\frac{\theta}{2} - R\sin\frac{\theta}{2}\cdot\dot{\phi}\right) = mR^2\sin^2\frac{\theta}{2}\left(\frac{1}{2}\dot\theta - \dot\phi\right)$

角運動量保存により，

$L = I\dot\phi$

ここに， $I$ は円盤の慣性モーメント

$I = \frac{1}{2}MR^2$

である。

$\dot\phi$ について解くと，

$\dot\phi = \frac{\sin^2(\theta/2)}{I/(mR^2)+\sin^2(\theta/2)}\;\frac{\dot\theta}{2} = \frac{\sin^2(\theta/2)}{M/(2m)+\sin^2(\theta/2)}\;\frac{v}{R}$

を得る。

(2)

$\alpha = \theta/2$ とおいて，

$d\phi = \frac{\sin^2\alpha}{I/(mR^2)+\sin^2\alpha}\;d\alpha = \left(1 - \frac{I/(mR^2)}{I/(mR^2)+\sin^2\alpha}\right)\;d\alpha$

これを積分すると，

$\phi = \int_0^\pi\left(1 - \frac{I/(mR^2)}{I/(mR^2)+\sin^2\alpha}\right)\;d\alpha = \pi\left(1-\sqrt{\frac{I}{I+mR^2}}\right) = \pi\left(1-\sqrt{\frac{M}{M+2m}}\right)$

を得る。

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最終更新：2009年12月31日 09:35

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