【解答】実体振子

(1)

支点まわりの慣性モーメントは，

$I = I_C + Ml^2$

である。鉛直方向からの重心の角変位を $\theta$ とすると，微小振動の運動方程式は

$I\ddot{\theta} = -Mgl\theta$

と書ける。したがって，振動の周期は

$T = 2\pi\sqrt{\frac{I_C+Ml^2}{Mgl}}$

となる。

(2)

周期の式を $l$ について整理すると，

$l^2 - \frac{gT^2}{4\pi^2}\;l + \frac{I_C}{M} = 0$

これを解くと，

$d = \frac{1}{2}\left\{\frac{gT^2}{4\pi^2} \pm \sqrt{\left(\frac{gT^2}{4\pi^2}\right)^2 - \frac{4I_C}{M}}\right\}$

したがって，

$l_1+l_2 = \frac{gT^2}{4\pi^2} \qquad \therefore T = 2\pi\sqrt\frac{l_1+l_2}{g}$

を得る。

(3)

$\frac{1}{4\pi^2}\;\frac{dT^2}{dl} = \frac{Ml^2 - I_C}{Mgl^2}$

したがって，周期が最小値をとるのは

$l = \sqrt\frac{I_C}{M}$

のときで，その周期は

$T_{\rm min} = 2\pi\sqrt{\frac{2}{g}\sqrt\frac{I_C}{M}}$

である。

同じ周期を与える $l_1,l_2$ による振動

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最終更新：2021年10月26日 17:18

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