【解答】２次元ばね振子 - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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【解答】２次元ばね振子

(1)

ばね１，２の自然長からの伸びを ${\it\Delta}l_1 , {\it\Delta}l_2$ とおくと，

${\it\Delta}l_1 = L_1 - l_0 \fallingdotseq l\left(1+\frac{a}{l}\right) - l_0 = l - l_0 + a$

${\it\Delta}l_2 = L_2 - l_0 \fallingdotseq l\left(1-\frac{a}{l}\right) - l_0 = l - l_0 - a$

となる。したがって，ばね１，２から受ける力を $(f_{1x},f_{1y})\;,\;(f_{2x},f_{2y})$ とおくと，

$f_{1x} = -k{\it\Delta}l_1\cdot \frac{l+a}{L_1} \fallingdotseq -k(l-l_0+a)(l+a)\cdot\frac{1}{l}\left(1-\frac{a}{l}\right) \fallingdotseq -k(l-l_0+a)$

$f_{1y} = -k{\it\Delta}l_1\cdot \frac{b}{L_1} \fallingdotseq -k(l-l_0+a)\cdot\frac{b}{l}\left(1-\frac{a}{l}\right) \fallingdotseq -kb\left(1-\frac{l_0}{l}\right)$

$f_{2x} \fallingdotseq k(l-l_0-a)$

$f_{2y} \fallingdotseq -kb\left(1-\frac{l_0}{l}\right)$

となるから，合力の成分 $(F_x,F_y)$ すなわち

$F_x = f_{1x} + f_{2x} = -2ka$

$F_y = f_{1y} + f_{2y} = -2kb\left(1-\frac{l_0}{l}\right)$

を得る。

(2)

(1)の結果を用いると，加速度を $(a_x , a_y)$ として小球の運動方程式は

$ma_x = -2kx$

$ma_y = -2k\left(1-\frac{l_0}{l}\right)y$

となる。したがって，時刻 $t$ における位置は

$x = a\cos\omega_x t\quad , \quad \omega_x = \sqrt\frac{2k}{m}$

$y = b\cos\omega_y t\quad , \quad \omega_y = \sqrt{\frac{2k}{m}\left(1-\frac{l_0}{l}\right)$

となる。

(3)

(2) の結果に， $l=4l_0/3$ を代入すると，

$\omega_y = \frac{1}{2}\omega_x \qquad \therefore x = a\cos(2\omega_y t) = a(2\cos^2\omega_yt - 1) = a\left(\frac{2y^2}{b^2}-1\right) = \frac{2a}{b^2}y^2-a$

を得る。

下は， $a,b$ が小さくない場合。近似からのずれが無視できなくなる。

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最終更新：2010年01月06日 16:14

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