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自転を考慮した鉛直投げ上げ
OKWaveより。Neilの放物線と同じ問題だとピンときた。
【問題】

北緯 \phi の地表から鉛直上方へ v の速度で投げ上げるときの落下点を求めよ。ただし，重力加速度の大きさを g，地球自転の角速度を \omega とし，空気抵抗および高さによる重力の変化は無視できるものとする。

答え：「西に 4v^3/(3g^2)\omega\cos\phi の地点」
【回答】　※　OKWaveからほぼそのまま転載させていただく。

地球中心を原点に球座標 (r,\theta,\phi^*) を設定します。緯度として \phi を使われているので、経度を \phi^*としました。緯度は、\phi = \pi/2 - \theta となります。\omega は自転の角速度です。

\theta 方向の運動は小さいので無視します（これがコリオリ力の効果になります）。以下，上付きドットで時間微分を表します。投げ上げる物体の質量を m とすると、

r 方向の運動方程式より、　

m \ddot{r} = - m g \qquad \therefore r = R + v t - \frac{1}{2}g t^2

角運動量保存により、

m r \times r \cos\phi\cdot\dot{\phi^*} = m R \times R \cos\phi\cdot\omega

両式より r を消去します。

\dot{\phi^*} = \left(\frac{R}{R + v t - g t^2/2}\right)^2\omega
　　　= \left(1 + \frac{v t - g t^2/2}{R}\right)^{-2}\omega
　　　\simeq \left[1 - \frac{2(v t - g t^2/2)}{R}\right]\;\omega 

\phi^*(0)=0 として，これをt=0 から 落下時刻 t=2v/g まで積分して、落下地点の経度差 \phi^*を求めます。

\phi^* = \omega \int_0^{2v/g}\left[1 - \frac{2(v t - g t^2/2)}{R}\right] dt
　　　= \omega t - \frac{\omega}{R}\times \frac{4v^3}{3g^2}

第1項は自転による回転で、第2項が要求されたずれを経度差で表したものです。

したがって、求める地表上のずれは

R \cos\phi (\phi^* - \omega t) = - \omega \cos\phi \times \frac{4v^3}{3g^2}

となります。負号は西を表します。
Polymathによる数値積分結果から，最高点100mのときの地表系から見た軌道を示す。右は高さ100mの塔から自由落下した場合で，「Neilの放物線」と呼ばれる。単位は両軸とも[m]である。ずれは「Neilの放物線」と比べて逆方向（西）にちょうど4倍となる。

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最終更新：2010年01月19日 13:21
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