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小球群による圧力とその解放

OKWaveのQ&Aより。分子運動論的な問題。

【問題】
質量 $M$ のピストンがついた，鉛直に立てたシリンダー内で，質量 $m$ の $n$ 個( $n \gg 1$ )の球が，ピストンとシリンダーの底の間で，弾性的に衝突し，とび跳ねる。系は釣り合いの状態にあり，底からのピストンの高さは $h$ に保たれている。ピストンを勢いよく抜き取ると，球はどれだけの高さまで飛び上がるか。ただし，重力加速度の大きさを $g$ とし，シリンダーの壁とピストン間の摩擦，内外の気圧差は無視できるものとする。また，小球どうしの衝突は考えなくてよい。

【解答】
小球のピストン位置における速度の鉛直成分の大きさを $v$ とする。弾性衝突であるからつりあいの状態において $v$ は保存される（摩擦なし，はねかえり係数１）。

球がピストンに衝突すると， $2mv$ の力積を及ぼす。ピストンが受ける球1個当たりの平均の力を $f$ ，時間を $t$ として　 $ft = 2mv$ 。この球が次の衝突までに $h$ を往復するから，

$h = v\cdot\frac{t}{2} + \frac{1}{2}g\left(\frac{t}{2}\right)^2$

これを $t$ について解いて

$t = \frac{2v}{g}\left(-1+\sqrt{1+2gh/v^2}\right)$

$\therefore f = \frac{2mv}{t} = \frac{mg}{-1+\sqrt{1+2gh/v^2}}$

となる。シリンダ内の球 $n$ 個が衝突によってピストンに及ぼす力が，重力とつりあっているから，

$nf = Mg \qquad \therefore \frac{nmg}{-1+\sqrt{1+2gh/v^2}} = Mg$

これを $v^2$ について解くと

$v^2 = \frac{2M^2gh}{nm(2M+nm)}$

ピストンを抜いたとき， $v$ を初速度の鉛直成分として上方投げ上げとなるから，最高点のピストン位置からの高さは，

$H = \frac{v^2}{2g} = \frac{M^2h}{nm(2M+nm)}$

となる。底面からの高さは $h+H$ である。

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最終更新：2010年01月23日 22:41