【解答】切れ目のあるリング電荷の回転

図のような角度　 $\theta$ のとき， $l$ の間隙に他と同じ密度で電荷があるとすると，対称性から全体が受けるトルクはゼロになる。すなわち，間隙がある場合のリングが受けるトルクは， $l$ に仮想した電荷が受けるトルクに等しく逆向きで，

$\tau(\theta) = \frac{l}{2\pi r - l}qEr\cos\theta \simeq \frac{qEl\cos\theta}{2\pi}$

となる。ただし， $r$ はリングの半径である。

リングの慣性モーメント $I \simeq Mr^2$ を用いて，リングの回転の運動方程式は

$I\ddot{\theta} = \tau(\theta) \quad {\rm i.e.}\quad \ddot{\theta} = \frac{qEl\cos\theta}{2\pi Mr^2}$

これをエネルギー積分すると， $\theta(0)=0\;,\;\dot\theta(0)=0$ より，

${\dot\theta}^2 = \frac{qEl\sin\theta}{\pi Mr^2}$

$\therefore v = r\dot\theta = \sqrt\frac{qEl\sin\theta}{\pi M}$

したがって，最大速さは $\theta=\pi/2$ のときで，

$v_{\rm max} = \sqrt\frac{qEl}{\pi M}$

となる。

つりあい位置は， $\theta=\pi/2$ だから，あらためて $\phi = \theta - \pi/2$ にとって微小角の近似をとれば，

$\ddot{\phi} = -\frac{qEl}{2\pi Mr^2}\cdot\phi$

したがって，周期は

$T = r\sqrt\frac{8\pi^3M}{qEl}$

となる。

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最終更新：2010年01月29日 13:15

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