【解答】ばねで連結された質点群の横振動 - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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【解答】ばねで連結された質点群の横振動

【問題】　 $\rightarrow$ 　ばねで連結された質点群の横振動

(1)

図のように， $n$ 番目の質点の変位 $x_n$ ， $n-1$ 番目と $n$ 番目の間のばねの長さと角度を $l_n$ ， $\theta_n$ とおくと， $n$ 番目の質点がばねから受ける合力は

$Kl_{n+1}\sin\theta_{n+1} - Kl_n\sin\theta_n = Kl_{n+1}\cdot\frac{x_{n+1}-x_n}{l_{n+1}} - Kl_n\cdot\frac{x_n-x_{n-1}}{l_n} = K(x_{n+1}+x_{n-1}-2x_n)$

となるから，運動方程式

$M\ddot{x}_n = K(x_{n+1}+x_{n-1}-2x_n)$

を得る。

(2)

運動方程式において， $x_n=A_n\cos\omega t$ 　etc.とおくと，

$-M\omega^2A_n = K(A_{n+1}+A_{n-1}-2A_n)$

を得る。

(3)

$A_n = A\sin kna$ を用いると

$A_{n+1}+A_{n-1} = A\sin k(n+1)a + A\sin k(n-1)a = 2A\sin kna \cos ka = 2A_n\cos ka$

となるから，これを(2)の結果に適用して，

$-M\omega^2A_n = -2KA_n(1-\cos ka)$

任意の $A_n$ について成立するためには，

$\omega^2 = \frac{4K}{M}\sin^2\frac{ka}{2}$

となる。すなわち，分散関係として

$\omega(k) = 2\sqrt\frac{K}{M} \sin\frac{ka}{2}$

を得る。

たとえば，基本振動においては

$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\pi}{L}$

だから，振動周期は

$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{\pi\sqrt{M/K}}{\sin(a\pi/2L)}$

となる（Algodooの設定で4.3sec.）。

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最終更新：2010年03月18日 10:14

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