ポテンシャルの谷間の振動周期

Yahoo!知恵袋の質問から。なかなかホネのある問題？

【問題】
質量 $m$ の質点が力

$F=-\frac{\alpha}{x^2} + \frac{\beta}{x^3}\quad(\alpha>0,\beta>0,x>0)$

を受けて軸上を運動する。質点を

$x=c\quad\left(\frac{\beta}{2\alpha}<c<\frac{\beta}{\alpha}\right)$

で静かに放すとき，振動の周期を求む。

【解答】
ポテンシャルエネルギーは，

$V(x) = -\int_0^x F(x)dx = -\frac{\alpha}{x}+\frac{\beta}{2x^2}$

したがってエネルギー保存は，

$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{\alpha}{x}+\frac{\beta}{2x^2} = E,\quad E = -\frac{2\alpha c-\beta}{2c^2}$

となる。 $v=0$ すなわち，

$E + \frac{\alpha}{x} - \frac{\beta}{2x^2} = 0$

の解を，

$x=c=a,\quad x=\frac{c\beta}{2\alpha c-\beta}=b$

とおくと， $a\le x \le b$ が積分範囲になる。エネルギー保存の式から $v$ を求めると，

$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2}{m}\left(E+\frac{\alpha}{x}-\frac{\beta}{2x^2}\right)}$

$\therefore dt = \sqrt{\frac{m}{-2E}}\cdot\frac{xdx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$

$\therefore T = 2\sqrt{\frac{m}{-2E}}\int_a^b\frac{xdx}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}$

ここで，

$x-\frac{a+b}{2} = \frac{b-a}{2}\sin\theta,\quad dx = \frac{b-a}{2}\cos\theta d\theta$

と置換して積分すると，

$T = 2\sqrt{\frac{m}{-2E}}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\frac{b-a}{2}\sin\theta + \frac{a+b}{2}\right)d\theta = \alpha\pi\sqrt{\frac{m}{-2E^3}}$

を得る。ただし，

$a+b = c + \frac{c\beta}{2\alpha c - \beta} = \frac{2\alpha c^2}{2\alpha c - \beta} = -\frac{\alpha}{E}$

を用いた。

積分変数の置換は，微積分のテキストからみつけたもので，ややトリッキーな感じがするが，やってみればなるほど…と納得のいく置換である。

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最終更新：2019年03月11日 13:31

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