【解答】支点の水平振動によって励振される振り子

【問題】　 $\rightarrow$ 　支点の水平振動によって励振される振り子

$x = l\cos\theta \qquad y = l\sin\theta + S\,,\quad S = S_0\cos\omega_0t$

$\dot{x} = -l\dot{\theta}\sin\theta \qquad \dot{y} = l\dot{\theta}\cos\theta + \dot{S}$

ラグランジアンは，

$L = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2) + mgx = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + ml\dot{\theta}\dot{S}\cos\theta + \frac{1}{2}m\dot{S}^2 + mgl\cos\theta$

微分して，

$\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = ml^2\dot{\theta} + ml\dot{S}\cos\theta\qquad \frac{\partial L}{\partial \theta} = -ml\dot{\theta}\dot{S}\sin\theta - mgl\sin\theta$

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = ml^2\ddot{\theta} + ml\ddot{S}\cos\theta - ml\dot{\theta}\dot{S}\sin\theta$

したがって，運動方程式は

$ml^2\ddot{\theta} + ml\ddot{S}\cos\theta = -mgl\sin\theta$

$\theta \ll 1$ 　により，

$\ddot{\theta} + \omega^2\theta = \frac{{\omega_0}^2S_0}{l}\cos\omega_0t\,,\quad \omega = \sqrt\frac{g}{l}$

となる。特解　 $\theta = B\cos\omega_0t$ 　とおくと，

$-{\omega_0}^2B\cos\omega_0t + \omega^2B\cos\omega_0t = \frac{{\omega_0}^2S_0}{l}\cos\omega_0t \qquad \therefore B = \frac{{\omega_0}^2S_0}{l(\omega^2 - {\omega_0}^2)}$