軌道方程式から万有引力の法則へ

運動方程式から軌道方程式まで（１）で万有引力の法則を含む運動方程式から，惑星の軌道方程式を得た。今度はその逆で，軌道方程式から万有引力の逆２乗則の成立を導出する。

高校レベルの円軌道近似の場合，ケプラーの法則から万有引力の逆２乗則を導出するには，第２法則（面積速度一定すなわち中心力における角運動量保存）だけでは不可能で，第３法則を要する。これは，たとえばばねにつないだ（距離に比例する中心力の下で）おもりを等速円運動させることが可能であることからもわかる。中心力と円軌道から逆２乗則は出てこないのである。第３法則

$\frac{r^3}{T^2} = k$ 　（一定）

を用いて逆２乗則を導くには，次のようにする。
引力の大きさを $f(r)$ として半径方向の運動方程式

$mr\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = f(r)$

に第３法則を適用すると，

$f(r) = \frac{4\pi^2km}{r^2}$

となって逆２乗則を得る。

一方，第１法則（楕円軌道），第２法則（中心力の角運動量保存）をそのまま使えば，第３法則を用いなくても逆２乗則を導出することができる。これら２つの法則で惑星の運動は決定するから当然ではあるが，やってみよう。まず母星（太陽）を原点（焦点）とする惑星の軌道は，一般には楕円を含む「円錐曲線」

$r(\phi) = \frac{l}{1+\varepsilon\cos\phi}$

と書ける。中心力場の運動に都合のよい平面極座標 $(r,\phi)$ 　を用いた。また，簡略化のため近日点位置を $\phi=0$ にとった。 $l = r(\pi/2)$ は「半直弦」， $\varepsilon$ は「離心率」である。

また，中心力の大きさを $f(r)&gt;0$ として，動径方向，方位角方向の運動方程式は

$m(\ddot{r} - r\dot{\phi}^2) = -f(r)$

$\frac{d}{dt}(r^2\dot{\phi}) = 0 \quad \therefore r^2\dot{\phi} = h$ 　（一定）

となる。方位角方向の結果は，第２法則に他ならない。

さて，軌道方程式を直接時間微分して第２法則を適用すれば，

$\dot{r} = \frac{\varepsilon l\sin\phi}{(1+\varepsilon\cos\phi)^2}\cdot \dot{\phi} = \frac{r^2\varepsilon\sin\phi}{l}\cdot\frac{h}{r^2} = \frac{\varepsilon h}{l}\sin\phi$