中心力-krを受ける質点の運動

距離に比例する復元力を中心力として受ける質点の軌道運動。

位置 $\boldsymbol{r}$ において，中心力 $-k\boldsymbol{r}$ を受ける質量 $m$ の質点の運動を考察する。
とりあえず， $r=r(t)$ を求める。

平面極座標により， $\boldsymbol{r}=(r,\phi)$ とする。

運動方程式の方位角成分より
$r^2\dot{\phi} = h = const.$ （角運動量保存）
すなわち，
$\dot{\phi} = \frac{h}{r^2}$

エネルギー保存により，
$E = \frac{1}{2}m(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2) + \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}kr^2 + \frac{mh^2}{2r^2}$

$\therefore \dot{r}^2 = \frac{2E}{m} - \omega^2r^2 - \frac{h^2}{r^2}\quad , \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}$

$r^2 = u$ とおくと，
$\dot{r} = \frac{\dot{u}}{2\sqrt{u}}$

上式に代入，整理すると
$\dot{u}^2 = 4\omega^2 \{ B^2 - (u - A)^2 \}\quad , \quad A = \frac{E}{m\omega^2}\quad , \quad B^2 = A^2 - \frac{h^2}{\omega^2}$

ここで $z = u-A$ とおくと
$\dot{z}^2 = 4\omega^2(B^2 - z^2)$
$\therefore \dot{z} = \frac{dz}{dt} = 2\omega\sqrt{B^2 - z^2}$

すなわち，
$\frac{dz}{\sqrt{B^2 - z^2}} = 2\omega dt$

$z = B \sin\theta$ とおいて積分すると，

$\theta = 2\omega t + \alpha$

$\therefore z = B \sin(2\omega t + \alpha)\qquad \therefore u = A + B \sin(2\omega t + \alpha)$

したがって，

$r = \sqrt{A + B \sin(2\omega t + \alpha) }\quad , \quad A=\frac{E}{m\omega^2}\quad , \quad B=\sqrt{A^2-\left(\frac{h}{\omega}\right)^2}\quad , \quad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

を得る。積分の過程は，やや遠回りになっているかもしれない。

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最終更新：2010年07月15日 13:50

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