質量を無視できないばねの伸び

OKWaveのQ&Aから。質量が無視できないばねを鉛直につるした場合の伸びについて。

無視できない質量 $m$ を持つ，ばね定数 $k$ のつるまきばねを鉛直につるしたときの，自重による伸びを求める。

自然長 $L$ の状態で下から $x$ の位置の微小長さ $dx$ の部分の伸び $dy$ を考える。その下にあるばねの質量が $x$ に比例するため， $dy$ は $x$ に比例する。したがって，全体の伸びは $mg/(2k)$ になる。

上記はほぼ自明であるが，計算で確認すると，

長さ $dx$ のばねのばね定数は， $L/dx\cdot k$ であるから，

$mg\cdot \frac{x}{L} = \frac{L}{dx}k \times dy$

$\therefore dy = \frac{mg}{kL^2}\cdot xdx$

求める伸び $Y$ は，

$Y = \frac{mg}{kL^2}\int_0^L xdx = \frac{mg}{2k}$

となる。

Algodooで，短いばねと質点を交互につないだものをモデルとして作ってみた。設定は，
$m = 0.20 {\rm [kg]}, k = 0.50 {\rm [N/m]}$ である。

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最終更新：2010年07月27日 12:31

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