極座標による微分導出への回転の活用(2)

発散の計算の成功に気をよくして，次は回転。

ベクトル場 $\boldsymbol{A}$ の回転は，

$\nabla\times\boldsymbol{A} = \,\,^\prime\!\!\!\!\boldsymbol{\partial} \times d\boldsymbol{A}$

ここで，発散の計算の結果から

$^\prime\!\!\!\!\boldsymbol{\partial} = \frac{\boldsymbol{e}_r}{dr} + \frac{\boldsymbol{e}_\theta}{r d\theta} + \frac{\boldsymbol{e}_\varphi}{r\sin\theta d\varphi}$

$d\boldsymbol{A} = D\boldsymbol{A} + d\boldsymbol{\Theta}\times\boldsymbol{A}$

　 $D\boldsymbol{A} = \boldsymbol{e}_r dA_r + \boldsymbol{e}_\theta dA_\theta + \boldsymbol{e}_\varphi dA_\varphi$

　 $d\boldsymbol{\Theta}\times\boldsymbol{A} = \boldsymbol{e}_r(-A_\theta d\theta - A_\varphi\sin\theta d\varphi) + \boldsymbol{e}_\theta(A_r d\theta - A_\varphi\cos\theta d\varphi) + \boldsymbol{e}_\varphi(A_r\sin\theta d\varphi + A_\theta\cos\theta d\varphi)$

であるから，以上を代入して整理すると，

$\nabla\times\boldsymbol{A} = \boldsymbol{e}_r\left(\frac{1}{r}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \theta} - \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\theta}{\partial\varphi} + \frac{A_\varphi}{r\tan\theta}\right)$
　　　　 $+ \boldsymbol{e}_\theta\left(-\frac{\partial A_\varphi}{\partial r} - \frac{A_\varphi}{r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial\varphi}\right)$
　　　　 $+ \boldsymbol{e}_\varphi \left(\frac{\partial A_\theta}{\partial r} + \frac{A_\theta}{r} - \frac{1}{r}\frac{\partial A_r}{\partial\theta}\right)$

あるいは，お好みであれば

$\nabla\times\boldsymbol{A} = \frac{\boldsymbol{e}_r}{r\sin\theta}\Big[\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta A_\varphi) - \frac{\partial A_\theta}{\partial\varphi}\Big] + \boldsymbol{e}_\theta\Big[\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial\varphi} - \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r A_\varphi)\Big] + \frac{\boldsymbol{e}_\varphi}{r}\Big[\frac{\partial}{\partial r}(r A_\theta) - \frac{\partial A_r}{\partial\theta}\Big]$

を得る。

極座標による微分導出への回転の活用(3)へ続く

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最終更新：2010年10月14日 10:53

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