【解答】つまづいて倒れる直方体

まず，荷物が倒れるときの回転軸まわりの慣性モーメント $I$ を求める。
垂直軸の定理により，重心まわりの慣性モーメントは，

$I_0 = \frac{1}{12}m(D^2+H^2)$

平行軸の定理により，求める慣性モーメントは，

$I = I_0 + \frac{1}{4}m(D^2+H^2) = \frac{1}{3}m(D^2+H^2)$

衝突の瞬間に受ける撃力は，重力より十分大きいと考えてよく，その作用点はたおれるときの回転軸になるから，回転軸まわりの角運動量は衝突の前後で保存される。したがって，衝突直後の角速度を $\omega$ とすると，

$mv\times \frac{H}{2} = I\omega\qquad \therefore \omega = \frac{mvH}{2I}$

衝突後は，力学的エネルギーが保存される。 $v,\omega$ は倒れる限界値だから，

$\frac{1}{2}I\omega^2 = mg\cdot\frac{1}{2} (\sqrt{D^2+H^2} - H )$

上の $I,\omega$ を代入して， $v$ について解くと

$v = \sqrt{\frac{4( D^2+H^2 ) (\sqrt{D^2+H^2} - H) g}{3H^2}}$

を得る。

巨大システムで精度向上をはかるが，3％ほどずれる。

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最終更新：2010年10月14日 15:56

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