ベクトル演算の行列化(3)

続いて微分公式。コンパクトにはなるものの，慣れないとなかなか気持ちよくいかないかもしれない（＾＾；）。

微分演算子は作用対象を常に考慮しなければならず，積の順序を自由に交換できないので，気持ちよくこなすには多少の工夫が必要のようだ。ベクトルにおいて，

$\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} = ^*\!\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A} = -^*\!\!\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$

だが，微分演算子を含むと

$\nabla\times\boldsymbol{A} = -^*\!\nabla\boldsymbol{A} = -\left(\begin{matrix}\quad 0\qquad \partial_z\quad-\partial_y\\-\partial_z\qquad 0\qquad \partial_x\\\,\,\partial_y\,\,-\partial_x\qquad 0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A_x\\A_y\\A_z\end{matrix}\right)$

となり，上の真ん中の形は許されない。ポイントは積の転置の

$^t\!({\sf AB}) = ^t\!{\sf B}^t\!{\sf A}$

という性質をうまく使うこと。慣れないとなかなか気持ちよく…というわけにいかないが，何とかうまくいったかな？

$(1)\quad\nabla(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} + (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B} + \boldsymbol{A}\times(\nabla\times\boldsymbol{B}) + \boldsymbol{B}\times(\nabla\times\boldsymbol{A})$

　　 $\because\quad\nabla(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}) = \nabla(^t\!\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) = (\nabla^t\!\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} + (\nabla^t\!\boldsymbol{B})\boldsymbol{A}$
　　　　　 $= [ \nabla^t\!\boldsymbol{A} - ^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{A}) ]\boldsymbol{B} + [ \nabla^t\!\boldsymbol{B} - ^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{B}) ]\boldsymbol{A} + ^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} + ^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{B})\boldsymbol{A}$
　　　　　 $= ^*\!(\nabla\times\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} + ^*\!(\nabla\times\boldsymbol{B})\boldsymbol{A} + ^t\![^t\!\boldsymbol{B}(\nabla^t\!\boldsymbol{A})] + ^t\![^t\!\boldsymbol{A}(\nabla^t\!\boldsymbol{B})]$
　　　　　 $= \boldsymbol{B}\times(\nabla\times\boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A}\times(\nabla\times\boldsymbol{B}) + (\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} + (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B}$

　　途中，　 $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = ^t\!\!\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} = ^t\!\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}$ 　　および，　 $^*\!(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{A}^t\!\boldsymbol{B} - \boldsymbol{B}^t\!\boldsymbol{A}$
　　したがってまた，　 $^*\!(\nabla\times\boldsymbol{A}) = \nabla^t\!\boldsymbol{A} - ^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{A})$ 　　を用いた。

$(2)\quad\nabla\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{B}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{B})$

　　 $\because\quad\nabla\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = ^t\!\nabla(^*\!\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}) = (^t\nabla^*\!\!\boldsymbol{B})\boldsymbol{A} - (^t\nabla^*\!\!\boldsymbol{A})\boldsymbol{B}$
　　　　　 $= -^t\!(\nabla\times\boldsymbol{B})\boldsymbol{A} + ^t\!(\nabla\times\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{B})$

　　途中， $\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} = ^*\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A} = -^*\!\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}$ 　および，　 $^t\!\boldsymbol{A}^*\!\boldsymbol{B} = ^t\!(^t\!^*\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}) = ^t\!(-^*\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}) = -^t\!(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})$
　　したがってまた，　 $^t\nabla^*\!\boldsymbol{A} = -^t\!(\nabla\times\boldsymbol{A})$ 　　を用いた。

$(3)\quad\nabla\times(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} - (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B} + \boldsymbol{A}(\nabla\cdot\boldsymbol{B}) - \boldsymbol{B}(\nabla\cdot\boldsymbol{A})$

　　 $\because\quad\nabla\times(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = ^t\![^t\nabla^t^*(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})]$
　　　　　 $= ^t\![^t\nabla^t\!(\boldsymbol{A}^t\!\boldsymbol{B} - \boldsymbol{B}^t\!\boldsymbol{A})]$
　　　　　 $= ^t\![^t\nabla(\bldsymbol{B}^t\!\boldsymbol{A}) - ^t\nabla(\boldsymbol{A}^t\!\boldsymbol{B})]$
　　　　　 $= ^t\![(^t\nabla\boldsymbol{B})^t\!\boldsymbol{A} + (^t\!\boldsymbol{B}\nabla)^t\!\boldsymbol{A} - (^t\nabla\boldsymbol{A})^t\!\boldsymbol{B} - (^t\!\boldsymbol{A}\nabla)^t\!\boldsymbol{B}$
　　　　　 $= \boldsymbol{A}(\nabla\cdot\boldsymbol{B}) + (\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B}(\nabla\cdot\boldsymbol{A}) - (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B}$

　　内積の可換性を用いて， $\nabla$ が $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ の両方に作用するように注意する。
　　もちろん，「BAC-CAB則」を直接用いてもよい。

$(4)\quad\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{A}) = \nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A}) - \nabla^2\boldsymbol{A}$

　　 $\because\quad\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{A}) = ^t\![^t\nabla^t^*\!(\nabla\times\boldsymbol{A})]$
　　　　　 $= ^t\![^t\nabla^t\!\{\nabla^t\!\boldsymbol{A} - ^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{A})\}]$
　　　　　 $= ^t\![^t\nabla^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{A}) - ^t\nabla(\nabla^t\!\boldsymbol{A})]$
　　　　　 $= \nabla^t\nabla\boldsymbol{A} - (^t\nabla\nabla)\boldsymbol{A}$
　　　　　 $= \nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A}) - \nabla^2\boldsymbol{A}$

　　第１項の変形は，　 $^t\![^t\!\boldsymbol{a}^t\!(\boldsymbol{a}^t\!\boldsymbol{b})] = \boldsymbol{a}^t\!\boldsymbol{b}\boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}^t\!\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}$ 　により， $^t\![^t\nabla^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{A})] = \nabla^t\nabla\boldsymbol{A}$ を用いた。
　　もちろん，「BAC-CAB則」を直接用いるのがラクである。

$(5)\quad\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A}) = \nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{A}) + \nabla^2\boldsymbol{A}$