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ベクトル演算--成分 vs 行列--
ベクトル演算公式の証明に対して，成分計算と行列計算を比較してみた。
成分計算における基本公式

　　アインシュタインの和の規則：同じ添え字の成分積は，その和をとる

　　\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = A_iB_i\qquad[\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}]_i = \varepsilon_{ijk}A_jB_k\qquad\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}

行列計算における基本公式

　　\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = ^t\!\!\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} = ^t\!\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\qquad^t^*\!\boldsymbol{A} = -^*\!\boldsymbol{A}

　　\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B} = ^*\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A} = -^*\!\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} = ^t\!(^t\!\boldsymbol{B}^*\!\boldsymbol{A})\qquad ^*\!(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{A}^t\!\boldsymbol{B} - \boldsymbol{B}^t\!\boldsymbol{A}

(1)\quad\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = \boldsymbol{C}\cdot({\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})

　　\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = A_i\varepsilon_{ijk}B_jC_k = C_k\varepsilon_{kij}A_iB_j = \boldsymbol{C}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})

　　\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = ^t\!(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})\boldsymbol{A} = ^t\!(^t^*\boldsymbol{B}\boldsymbol{C})\boldsymbol{A} = ^t\!\boldsymbol{C}^*\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A} = \boldsymbol{C}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})

(2)\qquad\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C}) - \boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})

　　[\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})]_i = \varepsilon_{ijk}A_j(\varepsilon_{klm}B_lC_m) = (\delta_{jl}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl})A_jB_lC_m
　　　　　= A_jB_iC_j - A_jB_jC_i = [\boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C}) - \boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})]_i

　　\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = ^*\!(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C})\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{B}^t\!\boldsymbol{C} - \boldsymbol{C}^t\!\boldsymbol{B})\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C}) - \boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})

※以下微分を含む公式だが，ベクトル三重積の形\nabla\times(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})，\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{A})は，「BAC-CAB則」から直接導出できるので，省こう。

(3)\qquad\nabla\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{B}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{B})

　　\nabla\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = \partial_i\varepsilon_{ijk}A_jB_k = \varepsilon_{ijk}(B_k\partial_iA_j + A_j\partial_iB_k) = \boldsymbol{B}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{B})

　　\nabla\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = ^t\nabla(^*\!\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}) = (^t\nabla^*\!\boldsymbol{B})\boldsymbol{A} - (^t\nabla^*\!\boldsymbol{A})\boldsymbol{B}
　　　　　= -^t\!(\nabla\times\boldsymbol{B})\boldsymbol{A} + ^t\!(\nabla\times\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{B})

(4)\qquad\nabla(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{B}\times(\nabla\times\boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A}\times(\nabla\times\boldsymbol{B}) + (\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} + (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B}

　　[\nabla(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})]_i = \partial_i(A_jB_j) = B_j\partial_iA_j + A_j\partial_iB_j = {\rm ???}

　　\nabla(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}) = \nabla(^t\!\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) = (\nabla^t\!\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} + (\nabla^t\!\boldsymbol{B})\boldsymbol{A}
　　　　　= \{\nabla^t\!\boldsymbol{A} - ^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{A})\}\boldsymbol{B} + \{\nabla^t\!\boldsymbol{B} - ^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{B})\}\boldsymbol{A} + ^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} + ^t\!(\nabla^t\!\boldsymbol{B})\boldsymbol{A}
　　　　　= ^*\!(\nabla\times\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} + ^*\!(\nabla\times\boldsymbol{B})\boldsymbol{A} + ^t\!\{^t\!\boldsymbol{B}(\nabla^t\!\boldsymbol{A})\} + ^t\!\{^t\!\boldsymbol{A}(\nabla^t\!\boldsymbol{B})\}
　　　　　= \boldsymbol{B}\times(\nabla\times\boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A}\times(\nabla\times\boldsymbol{B}) + (\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} + (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B}

成分計算では，逆算は次のようになる。

　　[\boldsymbol{B}\times(\nabla\times\boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A}\times(\nabla\times\boldsymbol{B}) + (\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} + (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B}]_i
　　　　　= \varepsilon_{ijk}B_j\varepsilon_{klm}\partial_lA_m + \varepsilon_{ijk}A_j\varepsilon_{klm}\partial_lB_m + B_j\partial_jA_i + A_j\partial_jB_i
　　　　　= (\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})(B_j\partial_lA_m + A_j\partial_lB_m) + B_j\partial_jA_i + A_j\partial_jB_i
　　　　　= B_j\partial_iA_j + A_j\partial_iB_j = \partial_i(A_jB_j) = [\nabla(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})]_i

レビ・チビタのエプシロンからクロネッカーのデルタへのギャップが，逆方向の計算の見通しを悪くしている。総じて，成分による計算は，積の可換により見通しがよくエレガントなものになるが，ここにきてようやく行列計算の長所を見ることとなった。

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最終更新：2010年10月24日 22:38