双子の交信

Yahoo!知恵袋より。地球にとどまるAとアルファケンタウリまで旅行するBとの交信。相対論の初歩的な問題。

【問題】
双子のA，Bがいる。Aは地球上にとどまり，Bは4.3光年離れた星まで $0.6c$ （ $c$ は光速）の速さで飛行し，到着後ただちに同じ速さで戻ってくる。A，Bはそれぞれ自分の時計で0.1年ごとに信号を発する。

(1)　Bが往路で発した信号をAは何回受信するか。
(2)　Bは往路でAの発した信号を何回受信するか。
(3)　Bが帰着するまでに，AとBはそれぞれ何回信号を受信するか。
(4)　Bが帰着したとき，どちらがどれだけ若いか。

【解答】時空ダイヤグラム以外は，回答をほぼそのまま拝借する。

黒字はAにとっての値，青字はBにとっての値を示す。また，傾き45°の直線群は赤がAの送信したビーコン，青がBの送信したビーコンを表している。

(1)

往路にかかる時間は地球時間で
$\frac{4.3}{0.6}=7.1\dot{6}{\rm [y]}$
Aから見るとBの送信時間間隔は
$\frac{0.1}{\sqrt{1-0.6^2}} = 0.125{\rm [y]}$
だから，求める受信回数は
$\frac{7.1\dot{6}}{0.125}=57.\dot{3}$
すなわち，Bが往路で発した信号をAは57回受信する。

【別解】
Bから見ると4.3光年の距離は，
$4.3\times\sqrt{1-0.6^2} = 3.44$ [光年]
すると，往路の所要時間はロケット時間で
$\frac{3.44}{0.6} = 5.7\dot{3}{\rm [y]}$
往路でBが57回送信したビーコンをAはすべて受信する。

(2)

地球時間で $7.1\dot{6}{\rm [y]}$ 経過時点で星に到達している信号を，Bは受信していることになる。4.3光年先の星にBより早く到達する信号は $7.1\dot{6}-4.3=2.8\dot{6}$ 年分。つまり28回の信号をBは往路で受信することになる。

(3)

Bの帰着時点では，双方とも相手が出した信号はすべて受信している。つまり、受信回数＝相手の発信回数となる。往復にかかる時間は地球時間で $14.\dot{3}{\rm [y]$ 。Aは143回の信号を発信する。つまりBの受信回数は143回。
Bにとっての経過時間は $14.\dot{3}\times0.8=11.4\dot{6}{\rm [y]}$ 。Bは114回の信号を発信する。つまりAの受信回数は114回。