タンクから噴出する水の到達距離

水位が決められたタンクの側面に開けた穴から，水平に噴出する水の到達距離を最大にする穴の高さを求める。Yahoo!知恵袋より。

【問題】

円筒形のタンクが地面の上に置かれている。このタンクの中には水が満たされており、地面から水面までの高さは $h$ であるとする。このタンクの側壁に、地面からの高さ $x$ の位置に小孔Aをあけて水を噴出させた。重力加速度の大きさを $g$ とする。

(1)　Aから噴出する水の速さ $V$ を, $h,x,g$ を用いて表せ。
(2)　水が地面に達するまでのAからの水平距離 $L$ を, $h,x$ を用いて表せ。
(3)　水が最も遠くへ飛ぶようにするためには、高さ $x$ をいくらにすればよいか。

【解答】

(1)

ベルヌーイの定理により

$V = \sqrt{ 2g(h-x) }$

(2)

落下時間 $t$ とすると，

$x = \frac{1}{2}gt^2$
$\therefore t = \sqrt\frac{2x}{g}$
$\therefore L = Vt = 2\sqrt{ x(h-x) }$

(3)

$\frac{L^2}{4} = x(h-x) = -\left(x-\frac{h}{2}\right)^2+\frac{h^2}{4}$

　※　 $\frac{dL}{dx} = \frac{h-2x}{\sqrt{ x(h-x) }}=0$ としてもよい。

したがって，

$x = h/2$ で，最大到達距離 $L=h$

Algodooで単純な小球のすべりおり投射に置き換えて，到達距離を比較してみた。緑が $x=h/2$ 。

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最終更新：2010年11月15日 09:45

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