反対称テンソルの成分展開

反対称テンソルをLevi-Civita記号と成分で展開する。かぎしっぽより。

２次元２階の反対称テンソルは，

$A_{\alpha\beta} = \varepsilon_{\alpha\beta}A_{12}$

と書ける。ただし，２次元レビ・チビタ記号は，

$\varepsilon_{\alpha\beta} = \begin{cases} +1 \ \ \ (\alpha,\beta) = (1,2) \cr -1 \ \ \ (\alpha,\beta) = (2,1) \cr 0 \qquad {\rm otherwise}\end{cases}$

これは，簡単で書き換えにもならない。これを４次元に拡張したいというのが質問の意図。

一般に２階テンソルは，次のように対称部分と反対称部分とに分けることができる。

$A_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}(A_{\alpha\beta}+A_{\beta\alpha}) + \frac{1}{2}(A_{\alpha\beta}-A_{\beta\alpha})$

したがって， $A_{\alpha\beta}$ が反対称テンソルであれば，

$A_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}(A_{\alpha\beta} - A_{\beta\alpha})$

　　 $= \frac{1}{2}({\delta^\mu}_\alpha{\delta^\nu}_\beta - {\delta^\mu}_\beta{\delta^\nu}_\alpha)A_{\mu\nu}$

と書ける。

まずは，３次元。３次元レビ・チビタ記号を，

$\varepsilon_{\alpha\beta\gamma} = \begin{cases} +1 \ \ \ (\alpha,\beta,\gamma) \in \{ (1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) \} \cr -1 \ \ \ (\alpha,\beta,\gamma) \in \{ (1,3,2),(3,2,1),(2,1,3) \} \cr 0 \qquad {\rm otherwise}\end{cases}$

と定義すると，積の縮約に関する関係

$\varepsilon^{\mu\nu\rho}\varepsilon_{\alpha\beta\rho} = {\delta^\mu}_\alpha{\delta^\nu}_\beta - {\delta^\mu}_\beta{\delta^\nu}_\alpha$

を用いれば，

$A_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\rho}\varepsilon_{\alpha\beta\rho}A_{\mu\nu}$

と書けることになる。縮約をあらわに実行すれば，

$A_{\alpha\beta} = \varepsilon_{\alpha\beta 1}A_{23} + \varepsilon_{\alpha\beta 2}A_{31} + \varepsilon_{\alpha\beta 3}A_{12}$

または，行列表示で右上三角成分を選べば，

$A_{\alpha\beta} = \varepsilon_{\alpha\beta 3}A_{12} - \varepsilon_{\alpha\beta 2}A_{13} + \varepsilon_{\alpha\beta 1}A_{23}$

となる。

いよいよ４次元。４次元レビ・チビタ記号は，

$\varepsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} = \begin{cases} +1 \ \ \ (\alpha,\beta,\gamma,\delta) \in \{ {\rm even-permutation-of}\quad (0,1,2,3)\} \cr -1 \ \ \ (\alpha,\beta,\gamma,\delta) \in \{ {\rm odd-permutation-of}\quad (0,1,2,3) \} \cr 0 \qquad {\rm otherwise}\end{cases}$

ただし，相対論では下付き添字の方は符号を逆に定義するので注意。
積の縮約に関する関係

$\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\varepsilon_{\alpha\beta\rho\sigma} = 2({\delta^\mu}_\alpha{\delta^\nu}_\beta - {\delta^\mu}_\beta{\delta^\nu}_\alpha)$

を用いれば，

$A_{\alpha\beta} = \frac{1}{4}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\varepsilon_{\alpha\beta\rho\sigma}A_{\mu\nu}$

と書けることになる。縮約をあらわに実行すれば，

$A_{\alpha\beta} = \varepsilon_{\alpha\beta 23}A_{01} + \varepsilon_{\alpha\beta 31}A_{02} + \varepsilon_{\alpha\beta 12}A_{03} + \varepsilon_{\alpha\beta 03}A_{12} + \varepsilon_{\alpha\beta 20}A_{13} + \varepsilon_{\alpha\beta 01}A_{23}$

となる。結果を見てしまえばほとんど自明と思えるが，導出となると結構悩む。

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最終更新：2010年12月03日 22:24

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