動摩擦力を受ける水平ばね振子

一定の動摩擦力によって，振動中心を半周期ごとに変えて減衰振動するばね振子。OKWaveから。

一定の動摩擦力を受けて減衰する水平ばね振子においては，振動中心が半周期ごとに変わる。

自然長位置を原点として，初期条件　 $x(0)=x_0 > 0,\dot{x}(0)=0$ 　の場合の解を求める。最初の半周期における運動方程式は，

$m\ddot{x} = -kx + \mu mg$

各文字の意味は説明を要しないだろう。これは，

$m\frac{d^2(x-a)}{dt^2} = -k(x-a)\quad,\quad a=\frac{\mu mg}{k}$

と変形できて，与えられた初期条件のもとに積分すると

$x = a + (L - a)\cos\omega t\quad,\quad\omega = \sqrt\frac{k}{m}$

となるから，振動の左端は

$x_1 = a + (L - a)\cos\pi = -(L - 2a)$

である。このとき，すべり出す条件を満たしているものとして，次の半周期の運動方程式は，

$m\ddot{x} = -kx - \mu mg$

すなわち，

$m\frac{d^2(x+a)}{dt^2} = -k(x+a)$

初期条件　 $t_1=\pi/\omega,x(t_1)=x_1,\dot{x}(t_1)=0$ 　の下に積分すれば，

$x = - a + (L-3a)\cos\omega t$

となり，振動右端は

$x_2 = -a + (L - 3a) = L - 4a$

である。以下，振動の端ですべり出す条件が満たされる限りにおいて，減衰しながら振動を繰り返していく。全運動過程にわたる解は，

$x(t) = (-1)^{[\omega t/\pi]}a + \left\{L - \left(2\left[\frac{\omega t}{\pi}\right]+1\right)a\right\}\cos\omega t$

となる。 $[X]$ はいわゆるガウスの記号で， $X$ を超えない最大整数を表す。AlgodooによるシミュレーションとMathcadによるグラフを示す。

質問者は，加速度の不連続性が気になったようであるが，動摩擦力一定のモデルでは力が不連続なのだからしょうがない。このモデルを越えて「すべり出し」の過渡現象をさらにつきつめれば連続になるのかもしれないが。

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最終更新：2010年12月11日 09:36

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