【解答】Bowl & Ball

【問題】 $\rightarrow$ Bowl & Ball

重心が中心角で ${\it\Delta}\theta$ 動いたとき，小球が ${\it\Delta}\phi$ 回転するとする。小球がすべらない条件から，

${\it\Delta}\phi = \frac{R-r}{r}{\it\Delta}\theta$

が成立する。

$\therefore \dot{\phi} = \frac{R-r}{r}\dot{\theta}$

力学的エネルギーは

$E = \frac{1}{2}m(R-r)^2\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}I\dot{\phi}^2 - mg(R-r)\cos\theta$

上の $\dot{\phi}$ を代入し， $\cos\theta \simeq 1-\theta^2/2$ を用い，定数をのぞけば

$E = \frac{1}{2}\cdot\frac{7}{5}m(R-r)^2\dot{\theta}^2 + \frac{1}{2}mg(R-r)\theta^2$

これを単振動のエネルギー

$E = \frac{1}{2}M\dot{X}^2 + \frac{1}{2}KX^2$

と比較すると，

$T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{K}} = 2\pi\sqrt{ \frac{7(R-r)}{5g} }$

すなわち， $7/5\times(R-r)$ の長さの単振り子と同じ周期が得られる。

「疑似球」はまずまず精度よく機能しているようだ。部品として保存しておくと，いつでも必要なサイズに変えて使える。

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最終更新：2011年01月13日 13:56

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