波動のローレンツ変換

OKWaveでおもしろい問題をみつけた。波動の式をローレンツ変換すると，時間の遅れを含むドップラー効果と速度合成則が一度に出てくる。

【問題】（一部改題）

${\rm S}-$ 系において，

$y = A \sin 2\pi\nu\left(t - \frac{x}{v}\right)$

で表される， $x$ 方向に進行する波がある。これを ${\rm S}$ -系に対して $x$ 方向に相対速度 $u$ をもつ ${\rm S}^\prime$ -系で観測する場合，振動数 $\nu^\prime$ ，伝搬速度 $v^\prime$ はどう変換されるか。

【解答】

ローレンツ変換

$x = \gamma(x^\prime + ut^\prime)$

$t = \gamma\left(t^\prime + \frac{u}{c^2}x^\prime\right)\quad,\quad\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{u^2}{c^2}}}$

により，

$y = A \sin 2\pi\nu\left(t - \frac{x}{v}\right)$

　 $= A \sin2\pi\nu\left\{\gamma\left(t^\prime + \frac{u}{c^2}x^\prime\right) -\frac{\gamma}{v}(x^\prime + ut^\prime) \right\}$

　 $= A\sin 2\pi\nu\gamma\left\{\left(1-\frac{u}{v}\right)t^\prime - \left(1 - \frac{uv}{c^2}\right)\frac{x^\prime}{v}\right\}$

　 $= A\sin 2\pi\nu\gamma\left(1-\frac{u}{v}\right)\left(t^\prime - \frac{1-uv/c^2}{v-u}x^\prime\right)$

となる。これを

$y^\prime = A\sin 2\pi\nu^\prime\left(t^\prime - \frac{x^\prime}{v^\prime}\right)$

と比較すると，

$\nu^\prime = \gamma\frac{v-u}{v}\nu$

$v^\prime = \frac{v-u}{1-uv/c^2}$

を得る。 $\nu^\prime$ の $\gamma$ 因子は時間の遅れにともなう相対論的効果，第２因子はドップラー効果を意味する。また， $v^\prime$ は速度の合成則そのものである。

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最終更新：2011年01月22日 11:30

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