量子力学の基本定理証明における２つの表現（覚え書き）

エルミート演算子の固有値の実数性，異なる固有値に対する固有関数の直交性…という基本定理の証明における，２つの表記法（積分表記，ブラケット表記）を比較する。

【定理】
エルミート演算子の固有値は実数である。また，異なる固有値に対する固有関数は互いに直交する。

【証明】
エルミート演算子 $\hat{A}$ について，固有値方程式を

$\hat{A}v_n = \lambda_n v_n\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\hat{A}|v_n\rangle = \lambda_n|v_n\rangle$

とすると，

$\int v_m^*\hat{A}v_n d\boldsymbol{r} = \lambda_n \int v_m^*v_n d\boldsymbol{r}\qquad\qquad\qquad\qquad\langle v_m|\hat{A}|v_n\rangle = \lambda_n\langle v_m|v_n\rangle$ 　…(i)

$m,n$ 交換すると，

$\int v_n^*\hat{A}v_m d\boldsymbol{r} = \lambda_m \int v_n^*v_m d\boldsymbol{r}\qquad\qquad\qquad\qquad\langle v_n|\hat{A}|v_m\rangle = \lambda_m\langle v_n|v_m\rangle$

両辺のエルミート共役をとると， $\hat{A}$ のエルミート性より

$\int v_m^*\hat{A}v_n d\boldsymbol{r} = \lambda_m^*\int v_m^*v_n d\boldsymbol{r}\qquad\qquad\qquad\qquad\langle v_m|\hat{A}|v_n\rangle = \lambda_m^*\langle v_m|v_n\rangle$ 　…(ii)

　　　　 $\because\quad \left(\int v_n^*\hat{A}v_m d\boldsymbol{r}\right)^* = \int v_m^*\hat{A}v_n d\boldsymbol{r}\qquad\qquad\because \quad(\langle v_n|\hat{A}|v_m\rangle)^* = \langle v_m|\hat{A}|v_n\rangle$