固有ベクトル展開を用いた極限問題

早稲田大学院試の過去問に挑戦。Yahoo!知恵袋より。

【問題】

数列 $\{p_n\},\{q_n\}$ および $\{r_n\}$ が漸化式　 $(n\ge 0)$

$\left\{\quad\begin{matrix} p_{n+1} &=& \left(1-\displaystyle\frac{a+b}{2}\right)p_n + \displaystyle\frac{1}{2}q_n + \frac{1}{2}r_n\\\\q_{n+1} &=& \displaystyle\frac{a}{2}p_n + \frac{1}{2}q_n\\\\r_{n+1} &=& \displaystyle\frac{b}{2}p_n + \frac{1}{2}r_n\end{matrix}$

によってあらわされている。 $a,b$ は定数であり， $0&lt;a&lt;1,0&lt;b&lt;1$ をみたす。また， $p_0,q_0,r_0$ は $p_0+q_0+r_0=1$ をみたすあたえられた定数。
このとき以下の問いに答えよ。

(1)　 $\boldsymbol{x}_n = \left(\begin{matrix}p_n\\q_n\\r_n\end{matrix}\right)$ 　とおく。 $\boldsymbol{x}_{n+1} = {\sf A}\boldsymbol{x}_n$ となる行列 ${\sf A}$ をもとめよ。

(2)　行列 ${\sf A}$ の固有値 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ （ただし $\lambda_1>\lambda_2>\lambda_3$ ），およびそれぞれの固有値に対応する固有ベクトル $\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3$ を求めよ。

(3)　 $\boldsymbol{x}_0 = \left(\begin{matrix}p_0\\q_0\\r_0\end{matrix}\right)$ 　を(2)で求めた固有ベクトルを用いて $\boldsymbol{x}_0 = c_1\boldsymbol{u}_1 + c_2\boldsymbol{u}_2 + c_3\boldsymbol{u}_3$ 　と展開する。このとき係数 $c_1,c_2,c_3$ 　をもとめよ（ $a,b,q_0,r_0$ 　を用いてあらわせ）。

(4)　(3)の結果をつかって， $n\rightarrow \infty$ 　としたとき $\boldsymbol{x}_n$ 　は極限をもつことを示し， $\lim_{n\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_n$ 　をもとめよ。

【解答】

(1)

${\sf A} = \left(\begin{matrix}1-\displaystyle\frac{a+b}{2}\quad\frac{1}{2}\qquad\frac{1}{2}\\\\ \qquad\displaystyle\frac{a}{2}\qquad\frac{1}{2}\qquad 0\\\\ \qquad\displaystyle\frac{b}{2}\qquad 0 \qquad\frac{1}{2} \end{matrix}\right)$

(2)

$| {\sf A} - \lambda{\sf I} | = 0$ 　を $\lambda$ について解けば，

$\lambda_1 = 1,\quad\lambda_2 = \frac{1}{2},\quad\lambda_3 = \frac{1-(a+b)}{2}$

固有値方程式 ${\sf A}\boldsymbol{u}_i = \lambda_i\boldsymbol{u}_i$ に代入して $\boldsymbol{u}_i$ を求めると，

$\boldsymbol{u}_1 = \left(\begin{matrix} 1\\a\\b\end{matrix}\right)\quad,\quad\boldsymbol{u}_2 = \left(\begin{matrix} 0\\1\\-1\\\end{matrix}\right)\quad,\quad\boldsymbol{u}_3 = \left(\begin{matrix} 1\\\\-\displaystyle\frac{a}{a+b}\\\\-\displaystyle\frac{b}{a+b}\end{matrix}\right)$

(3)

$\boldsymbol{x}_0 = \left(\begin{matrix}p_0\\q_0\\r_0\end{matrix}\right) = c_1\boldsymbol{u}_1 + c_2\boldsymbol{u}_2 + c_3\boldsymbol{u}_3$

をつくって， $p_0+q_0+r_0=1$ を考慮して $c_1,c_2,c_3$ について解く。
（長いので略）

(4)

$\boldsymbol{x}_n = {\sf A}^n\boldsymbol{x}_0 = c_1{\sf A}^n\boldsymbol{u}_1 + c_2{\sf A}^n\boldsymbol{u}_2 + c_3{\sf A}^n\boldsymbol{u}_3 = c_1{\lambda_1}^n \boldsymbol{u}_1 + c_2{\lambda_2}^n \boldsymbol{u}_2 + c_3{\lambda_3}^n \boldsymbol{u}_3$