水を噴いて走る水槽 - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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水を噴いて走る水槽

OKWaveより。水槽に車輪が付いていて，排出口から水を噴いて走る問題。

【問題】

1.0ｍ×1.0ｍ×1.0ｍの車輪付き箱に水深0.80ｍまで水が入れてある。
底から10cm上のところに直径2.0cmの穴をあけた。
(1) 停止時にこの水槽に働く力はいくらか。
(2) 水面の高さが変化しないとして速度が0.50m/secの時に作用する力はいくらになるか。
(3) 走り出して30秒経ったときの速さを求めよ。ただし水面位置は変わらないとする。
　水の密度は1000 kg/m $^3$ ，水のない箱だけの重量は50kgfとする。

【解答】

以下水の密度 $\rho=1.0\times10^3{\rm kg/m}^3$ ，排水口の半径 $r=1.0\times10^{-2}{\rm m}$ ，深さ $h=0.70{\rm m}$ ，
重力加速度の大きさ $g=9.8{\rm m/s}^2$ とする。

(1)

排水の速さは，

$u = \sqrt{2gh}$

である。作用反作用の法則により，力は単位時間に水が得る運動量に等しいから

$F_0 = \rho\pi r^2 u^2 = \rho\pi r^2\cdot2gh = 4.3{\rm [N]}$

となる。

(2)

$u$ は水槽に対する相対速さになるから，箱が速さ $v$ で走行中に水が得る速さは $u - v$ である。したがって求める力は，

$F = \rho\pi r^2 u ( u - v ) = 3.7{\rm [N]}$

となる。

(3)

水量800kgに対して，単位時間当たり排水量は1kg/sec程度であるから，水を含む箱の質量 $M=850$ kgの変化は無視する。運動方程式は，

$M \frac{dv}{dt} = \rho\pi r^2 u ( u - v )$

積分すると

$v = u \left\{ 1 - \exp\left( -\frac{\rho\pi r^2u}{M}\cdot t \right) \right\} = 0.15{\rm [m/s]$

となる。

水位の変化は無視したまま，質量変化を考慮するとどうなるだろうか？

運動方程式は，

$\frac{d}{dt}\Big\{(M-\rho\pi r^2ut)v\Big\} = \rho\pi r^2u(u-v)$

整理すると，

$(M-\rho\pi r^2ut)\frac{dv}{dt} = \rho\pi r^2 u^2$

これはツィオルコフスキーのロケット方程式に他ならない。積分すると，

$v = u\ln\frac{M}{M-\rho\pi r^2ut} = 0.16{\rm [m/s]}$

となった。

さらに加えて，水位の変化を考慮してみよう。

今度は排出速さ $u$ 自体が変化し，

$u(t) = u_0 - \frac{g\pi r^2}{S}\cdot t$

となる。これを上の運動方程式

$\frac{d}{dt}\Big\{(M-\rho\pi r^2ut)v\Big\} = \rho\pi r^2u(u-v)$

に代入すればよいが，これは解析的には積分できそうにない。そこで数値積分ツールPOLYMATHを使って積分してみたのが下のグラフである。 $V_1$ が水位変化も質量変化も無視した場合。 $V_2$ が質量変化のみ考慮した場合。 $v$ は両方考慮した最終結果である。水の粘性や摩擦を無視できるとしても，実際にはさらに慣性力による影響があるだろう。幸いこれも初めのうちは加速度が小さく影響が少ない。

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最終更新：2012年01月05日 12:08

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