雪の付着による飛行機の減速 - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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雪の付着による飛行機の減速

Yahoo!知恵袋より。雪の付着によって減速する飛行機の運動。

【問題】

雪の中を飛行している飛行機を考える。飛行機には雪が付着し，時間とともに質量が増えていく。飛行機の初期質量 $M_0$ ，初速 $v_0$ ，断面積を $S$ ，雪の空間質量密度を $\rho$ とする。また，空気抵抗は無視でき，飛行機の推力はゼロとする。

(1) 飛行機の運動を記述する微分方程式を立式せよ。

(2) 飛行機の速さが初速の8割になるまでの時間を求めよ。

【解答】

(1)

微小時間 $dt$ の間の運動量保存から

$M v = ( M + \rho Svdt )( v + dv )$

$\therefore Mdv = -\rho Sv^2dt$

運動方程式は次のような連立微分方程式となる。

$M \frac{dv}{dt} = -\rho S v ^2$

$\frac{dM}{dt} = \rho Sv$

第１式より

$v = \frac{\dot{M}}{\rho S}$

第２式に代入して，

$M \ddot{M} = -{\dot{M}}^2$

$\frac{d\dot{M}}{dt} = -\frac{{\dot{M}}^2}{M}$

$\frac{d\dot{M}}{\dot{M}} = -\frac{\dot{M}dt}{M}$

積分すると，

$\ln\frac{\dot{M}(t)}{\dot{M}(0)} = \ln\frac{M(0)}{M(t)}$

$\therefore \frac{\dot{M}(t)}{\dot{M}(0)} = \frac{M(0)}{M(t)}$

$M dM = M(0)\dot{M}(0) dt$

再度積分して，

$\frac{1}{2} (M^2 - {M_0}^2) = M_0\rho S v_0 t$

$\therefore M(t) = \sqrt{{M_0}^2 + 2\rho SM_0v_0 t}$

速さは，

$v(t) = \frac{1}{\rho S}\frac{dM}{dt} = \frac{M_0v_0}{\sqrt{ {M_0}^2 + 2\rho SM_0v_0 t}}$

(2)

題意より

$0.8 = \frac{M_0}{ \sqrt{{M_0}^2 + 2\rho SM_0v_0 t} }$

$\therefore t = \frac{9M_0}{32\rho Sv_0}$

連立微分方程式にもどって，POLYMATHの数値積分によってシミュレートしてみた。設定は下記のとおりである。ちなみに解析解とはぴったり一致していることが確認できた。

$M_0 = 1.00\times10^4 {\rm [kg]},\quad v_0 = 200 {\rm [m/s]},\quad \rho = 0.100 {\rm [kg/m}^3{\rm ]},\quad S = 1.00 {\rm[m^2]}$

$t = \frac{9M_0}{32\rho Sv_0} = 141{\rm [s]$

質量変化

速度変化

Algodooでシミュレートしてみた。数値計算と比べてやや減速がはやいが概ね一致している。 $M_0 = 1.00\times10^3 {\rm [kg]},\quad v_0 = 2.00 {\rm [m/s]},\quad \rho = 0.100 {\rm [kg/m}^3{\rm ]},\quad S = 23.00 {\rm[m^2]}$

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最終更新：2012年01月27日 21:02

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