回転する放物線上に束縛された質点 - 科学のおもちゃ箱 @wiki - atwiki（アットウィキ）

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回転する放物線上に束縛された質点

物理のかぎしっぽの掲示板から。鉛直軸まわりに定速回転する放物線上に束縛された質点の平衡と安定性を問う。

【問題】

$y$ 軸を鉛直線とする放物線 $y=ax^2$ ( $a$ は正の定数)の上に質点が滑らかに束縛されている。この放物線を $y$ 軸の周りに一定の角速度 $\omega$ で回転させる時，質点の平衡位置を求め，その安定性を述べよ。

【解答】

原点から放物線に沿って測った長さを質点の位置 $s$ として，これに対する運動方程式は，

$m\ddot{s} = mx\omega^2\cos\theta - mg\sin\theta$

ただし， $\theta$ は位置 $s$ における放物線の傾き角で，

$\cos\theta = \frac{dx}{ds}$
$\sin\theta = \frac{dy}{ds} = 2ax\frac{dx}{ds}$

である。上式に代入して両辺に $\dot{s}=ds/dt$ をかければ

$m\dot{s}\ddot{s} = m(\omega^2 - 2ga)x\dot{x}$

これを積分すると，

$\frac{1}{2}m\dot{s}^2 + \frac{1}{2}m(2ga - \omega^2)x^2 = {\rm const.}$

を得る。遠心力を含むポテンシャルエネルギーは直接の積分によって明らかであるから以上の手続きは冗長であるが， $s$ 方向の１次元運動に対する有効ポテンシャル

$U = \frac{1}{2}m(2ga - \omega^2)x^2$

がまさに上の第２項になっていることをしっかり確認するためにあえて運動方程式のエネルギー積分を実行した。いうまでもないが， $U$ は $x$ を通して $s$ の関数になっている。

(i) $\omega < \sqrt{2ga}$ のとき

$x=0$ 　が安定な平衡点となる。

(ii) $\omega = \sqrt{2ga}$ のとき

いたるところ $U=0$ となって平衡点となる。安定でも不安定でもなく中立な平衡点であり，初速を与えると放物線に沿った等速運動となる。なお，速度を持つとコリオリ力が生じるため，束縛力に方位角成分が現れる。

(iii) $\omega > \sqrt{2ga}$ のとき

$x=0$ 　が不安定な平衡点となる。

なお，(ii)の結果は鉛直方向を軸とする円筒容器内の水が容器とともに回転するとき，水面が回転放物面になることと符合している。水面は等ポテンシャル面になるから，水面上に浮いた質点は，いたるところで水に対して静止する。

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最終更新：2012年01月25日 19:06

添付ファイル

回転する放物線.bmp