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粒子の崩壊と寿命
原子核や素粒子の崩壊と平均寿命の関係について整理してみる。Yahoo!知恵袋のQ&Aをきっかけに自己の認識の中にあった穴を埋めることができた。
粒子の崩壊は，純粋な意味で確率的な過程であることが知られている。したがって，その崩壊を支配する微分方程式は，

\frac{dN}{N} = -\lambda dt

と書ける。Nは残存粒子数であり，\lambdaは崩壊定数と呼ばれる。積分すると，

N = N_0 e^{-\lambda t} = N_0 e^{-t/\tau}

を得る。\tau = 1/\lambdaは寿命と呼ばれ，崩壊までの平均時間を表す。

以上はポピュラーな粒子崩壊の数学であるが，寿命＝崩壊までの「平均時間」という理解に穴があったので，それを埋める考察をしてみた。

時刻tからt+dtまでの間に崩壊する粒子に対する年齢の和は，t|dN|であるから，崩壊までの平均時間は

\frac{\int t|dN|}{N_0} = \frac{1}{\tau}\int_0^\infty t e^{-t/\tau} dt

= \frac{1}{\tau}\left(\Big[-t\tau e^{-t/\tau}\Big]_0^\infty + \tau\int_0^\infty e^{-t/\tau} dt\right)

= \int_0^\infty e^{-t/\tau}dt = \Big[-\tau e^{-t/\tau}\Big]_0^\infty = \tau

となる。寿命は単に残存粒子数が1/eに減少する時間，などという半端な意味ではなく，まさに平均寿命なのである。ちなみに，寿命はt-Nグラフの面積をN_0で割ったものとなるから，通常描かれる崩壊のグラフを縦横ひっくりかえしたものの「平均値」となるわけだ。

陽子の寿命が10^{33}年ならば、10^{33}の陽子を集めれば1年に1個の陽子の崩壊が観測できることになる。（Wikipediaより）

こわれる粒子数は，

N_0 - N = N_0\left(1 - e^{-t/\tau}\right)

|x|\ll 1のとき，

e^x \simeq 1 + x

したがって，時間経過が寿命\tauより十分小さければ

N_0 - N = N_0\times\frac{t}{\tau}

N_0=10^{33}, t=1{\rm y}, \tau=10^{33}{\rm y}を代入すると，

N_0 - N = 1

となるわけだ。
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最終更新：2012年03月17日 17:17
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