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浮力による永久機関
Yahoo!知恵袋について考察を加えていたところ，副産物として半円の重心が導かれた，という話。
水平軸まわりに回転できる円筒のちょうど半分が，水を満たした水槽の側壁から外部に出ている。半円筒の浮心は軸より中に偏っているから，浮力は常に円筒を回転させるモーメントを持ち，円筒は回転し続けるだろうという「永久機関」。




水圧は円筒面に垂直だから軸まわりのモーメントを生じることはありえない。すなわち，水圧の合力は軸を通ることになるわけである。浮力の作用点としていわゆる「浮心」＝半円筒の重心を持ち込むのは，陥りやすい誤りといえよう。半円筒の重心を作用点とするためには，その切断面にも水圧がかかっていなければならないのである。

うまい説明がないか考えていたところ，副産物として半円の重心位置が転がり出た。

半円筒に生じる浮力は，

\rho gw \times \frac{1}{2}\pi r^2

ただし，\rho：水の密度，g：重力加速度の大きさ，r：円筒の半径，w：円筒の幅　である。

ところが，今考察している円筒の切断面にかかる水圧はないのだから，円筒が受ける力のモーメントは「浮心」を作用点とする浮力のモーメントから，切断面で受ける水圧の分を差し引かねばならない。その結果がゼロというわけだ。切断面で受ける水圧があったとして，その力のモーメントの大きさは

\int_0^{2r}\rho gwz\times(z-r) dz = \frac{2}{3}\rho gwr^3

である。ここで，半円筒の重心位置を軸からdの距離とすると，

\rho gw\frac{1}{2}\pi r^2\times d - \frac{2}{3}\rho gwr^3 = 0

\therefore d = \frac{4r}{3\pi}

を得る。
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最終更新：2012年04月09日 23:02
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