半球転がり振子

半円筒の転がり振子は，実は初めは半球の振動を解析してみようと思った際，準備運動として始めたつもりだった。そこで，本題の半球の転がり振動の解析。

半円筒の解析の際，思わぬところでつまづいたが，結果的によい準備運動となった。
半球も半円筒とほとんど同じ考え方でよい。重心の球中心からの距離は， $3/8\cdot R$ であり，したがって重心まわりの慣性モーメントも

$I_G=\left(\frac{2}{5}-\frac{3}{8}\right)mR^2$

と置き換えるだけである。

半球の転がり振子ですべりのない場合は，瞬間の回転軸は常に接地点であるから，
瞬間の回転軸まわりの慣性モーメントは，

$I_i=I_G+\left\{\left(1-\frac{3}{8}\cos\theta\right)^2+\left(\frac{3}{8}\sin\theta\right)^2\right\}mR^2$
　　 $=\left(\frac{2}{5}-\frac{3}{8}\right)mR^2+\left(1+\frac{3}{8}-\frac{3}{4}\cos\theta\right)mR^2$
　　 $=\left(\frac{7}{5}-\frac{3}{4}\cos\theta\right)mR^2$

となる。したがってエネルギー保存は，

$\frac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2\left(\frac{7}{5}-\frac{3}{4}\cos\theta\right)=\frac{3}{8}mgR(\cos\theta-\cos\theta_0)$

周期を求めると，

$T=8\sqrt{\frac{R}{3g}}\int_0^{\theta_0}\sqrt{\frac{\frac{7}{5}-\frac{3}{4}\cos\theta}{\cos\theta-\cos\theta_0}}d\theta$

となる。

実験用に作った半球の値 $R=0.033$ mを用いて数値積分すると， $\theta_0\rightarrow 0$ の極限で， $T=0.48$ sec.を得た。実験は，ひとまず薄手のプラスチックのボール（おもちゃ）を切ったものに水を入れて凍らせたという，ややおそまつなものでやってみたが，測定周期は $0.49$ sec.であった。材料のいい加減さ（何より真球でない）からすると，まずまずの結果だろう。

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最終更新：2009年02月19日 17:51

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